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Theorem nmoubi 22273
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmoubi  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( N `  T )  <_  A  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 x ) )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, L    x, U    x, W    x, Y    x, M    x, T    x, X
Allowed substitution hint:    N( x)

Proof of Theorem nmoubi
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoubi.u . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
2 nmoubi.w . . . . . 6  |-  W  e.  NrmCVec
3 nmoubi.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 nmoubi.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
5 nmoubi.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( normCV `  U )
6 nmoubi.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( normCV `  W )
7 nmoubi.3 . . . . . . 7  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
83, 4, 5, 6, 7nmooval 22264 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `
 x )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
91, 2, 8mp3an12 1269 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  -> 
( N `  T
)  =  sup ( { y  |  E. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
109breq1d 4222 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  <_  A  <->  sup ( { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A ) )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( N `  T )  <_  A  <->  sup ( { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A ) )
124, 6nmosetre 22265 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  ->  { y  |  E. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x
) ) ) } 
C_  RR )
132, 12mpan 652 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  ->  { y  |  E. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x
) ) ) } 
C_  RR )
14 ressxr 9129 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
1513, 14syl6ss 3360 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  ->  { y  |  E. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x
) ) ) } 
C_  RR* )
16 supxrleub 10905 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x
) ) ) } 
C_  RR*  /\  A  e. 
RR* )  ->  ( sup ( { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  { y  |  E. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A )
)
1715, 16sylan 458 . . 3  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x )
) ) } z  <_  A ) )
1811, 17bitrd 245 . 2  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( N `  T )  <_  A  <->  A. z  e.  { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `
 x )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 x ) ) ) } z  <_  A ) )
19 eqeq1 2442 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( M `
 ( T `  x ) )  <->  z  =  ( M `  ( T `
 x ) ) ) )
2019anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  <-> 
( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) ) )
2120rexbidv 2726 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) ) )
2221ralab 3095 . . 3  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A  <->  A. z ( E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x )
) )  ->  z  <_  A ) )
23 ralcom4 2974 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. z ( ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A )  <->  A. z A. x  e.  X  ( ( ( L `
 x )  <_ 
1  /\  z  =  ( M `  ( T `
 x ) ) )  ->  z  <_  A ) )
24 ancomsimp 1378 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A
)  <->  ( ( z  =  ( M `  ( T `  x ) )  /\  ( L `
 x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
25 impexp 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  =  ( M `  ( T `
 x ) )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  ( z  =  ( M `  ( T `  x )
)  ->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  z  <_  A ) ) )
2624, 25bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A
)  <->  ( z  =  ( M `  ( T `  x )
)  ->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  z  <_  A ) ) )
2726albii 1575 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A )  <->  A. z
( z  =  ( M `  ( T `
 x ) )  ->  ( ( L `
 x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
28 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( M `
 ( T `  x ) )  e. 
_V
29 breq1 4215 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( M `  ( T `  x ) )  ->  ( z  <_  A  <->  ( M `  ( T `  x ) )  <_  A )
)
3029imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( M `  ( T `  x ) )  ->  ( (
( L `  x
)  <_  1  ->  z  <_  A )  <->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  A
) ) )
3128, 30ceqsalv 2982 . . . . . 6  |-  ( A. z ( z  =  ( M `  ( T `  x )
)  ->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  z  <_  A ) )  <->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
3227, 31bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A )  <->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
3332ralbii 2729 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. z ( ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A )  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
34 r19.23v 2822 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A
)  <->  ( E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x )
) )  ->  z  <_  A ) )
3534albii 1575 . . . 4  |-  ( A. z A. x  e.  X  ( ( ( L `
 x )  <_ 
1  /\  z  =  ( M `  ( T `
 x ) ) )  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( E. x  e.  X  ( ( L `  x
)  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x
) ) )  -> 
z  <_  A )
)
3623, 33, 353bitr3i 267 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 x ) )  <_  A )  <->  A. z
( E. x  e.  X  ( ( L `
 x )  <_ 
1  /\  z  =  ( M `  ( T `
 x ) ) )  ->  z  <_  A ) )
3722, 36bitr4i 244 . 2  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 x ) )  <_  A ) )
3818, 37syl6bb 253 1  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( N `  T )  <_  A  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 x ) )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989   1c1 8991   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   NrmCVeccnv 22063   BaseSetcba 22065   normCVcnmcv 22069   normOp OLDcnmoo 22242
This theorem is referenced by:  nmoub3i  22274  nmobndi  22276  ubthlem2  22373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-nmcv 22079  df-nmoo 22246
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