Theorem nmoubi 8431

Description: An upper bound for an operator norm.

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	|- X = (Base` U)
nmoubi.y	|- Y = (Base` W)
nmoubi.l	|- L = (norm` U)
nmoubi.m	|- M = (norm` W)
nmoubi.3	|- N = (UnormOpW)
nmoubi.u	|- U e. NrmCVec
nmoubi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmoubi	|- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> (N` T) <_ A)

Distinct variable groups:   x,A   x,L   x,M   x,T   x,X   x,Y

Proof of Theorem nmoubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoubi.u	. . . 4 |- U e. NrmCVec
2		nmoubi.w	. . . 4 |- W e. NrmCVec
3		nmoubi.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
4		nmoubi.y	. . . . 5 |- Y = (Base` W)
5		nmoubi.l	. . . . 5 |- L = (norm` U)
6		nmoubi.m	. . . . 5 |- M = (norm` W)
7		nmoubi.3	. . . . 5 |- N = (UnormOpW)
8	3, 4, 5, 6, 7	nmoval 8422	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (N` T) = sup({y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ))
9	1, 2, 8	mp3an12 908	. . 3 |- (T:X-->Y -> (N` T) = sup({y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ))
10	9	3ad2ant1 802	. 2 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> (N` T) = sup({y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ))
11		supxrleub 6101	. . 3 |- (({y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} (_ RR* /\ A e. RR* /\ A.w e. {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}w <_ A) -> sup({y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ) <_ A)
12	4, 6	nmosetre 8423	. . . . . 6 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} (_ RR)
13	2, 12	mpan 697	. . . . 5 |- (T:X-->Y -> {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} (_ RR)
14		ressxr 5510	. . . . . 6 |- RR (_ RR*
15	14	a1i 8	. . . . 5 |- (T:X-->Y -> RR (_ RR*)
16	13, 15	sstrd 2077	. . . 4 |- (T:X-->Y -> {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} (_ RR*)
17	16	3ad2ant1 802	. . 3 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} (_ RR*)
18		3simp2 791	. . 3 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> A e. RR*)
19		fveq2 3730	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = z -> (L` x) = (L` z))
20	19	breq1d 2634	. . . . . . . . . . 11 |- (x = z -> ((L` x) <_ 1 <-> (L` z) <_ 1))
21		fveq2 3730	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = z -> (T` x) = (T` z))
22	21	fveq2d 3734	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = z -> (M` (T` x)) = (M` (T` z)))
23	22	breq1d 2634	. . . . . . . . . . 11 |- (x = z -> ((M` (T` x)) <_ A <-> (M` (T` z)) <_ A))
24	20, 23	imbi12d 628	. . . . . . . . . 10 |- (x = z -> (((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) <-> ((L` z) <_ 1 -> (M` (T` z)) <_ A)))
25	24	rcla4cv 1877	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) -> (z e. X -> ((L` z) <_ 1 -> (M` (T` z)) <_ A)))
26		breq1 2627	. . . . . . . . . 10 |- (w = (M` (T` z)) -> (w <_ A <-> (M` (T` z)) <_ A))
27	26	biimprcd 156	. . . . . . . . 9 |- ((M` (T` z)) <_ A -> (w = (M` (T` z)) -> w <_ A))
28	25, 27	syl8 24	. . . . . . . 8 |- (A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) -> (z e. X -> ((L` z) <_ 1 -> (w = (M` (T` z)) -> w <_ A))))
29	28	imp4a 364	. . . . . . 7 |- (A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) -> (z e. X -> (((L` z) <_ 1 /\ w = (M` (T` z))) -> w <_ A)))
30	29	r19.23adv 1749	. . . . . 6 |- (A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) -> (E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ w = (M` (T` z))) -> w <_ A))
31		visset 1816	. . . . . . 7 |- w e. V
32		eqeq1 1484	. . . . . . . . 9 |- (y = w -> (y = (M` (T` z)) <-> w = (M` (T` z))))
33	32	anbi2d 618	. . . . . . . 8 |- (y = w -> (((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z))) <-> ((L` z) <_ 1 /\ w = (M` (T` z)))))
34	33	rexbidv 1667	. . . . . . 7 |- (y = w -> (E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z))) <-> E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ w = (M` (T` z)))))
35	31, 34	elab 1900	. . . . . 6 |- (w e. {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} <-> E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ w = (M` (T` z))))
36	30, 35	syl5ib 206	. . . . 5 |- (A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) -> (w e. {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} -> w <_ A))
37	36	r19.21aiv 1716	. . . 4 |- (A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) -> A.w e. {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}w <_ A)
38	37	3ad2ant3 804	. . 3 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> A.w e. {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}w <_ A)
39	11, 17, 18, 38	syl3anc 860	. 2 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> sup({y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ) <_ A)
40	10, 39	eqbrtrd 2640	1 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> (N` T) <_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  supcsup 4582  RRcr 5245  1c1 5247   <_ cle 5307  RR*cxr 5497   < clt 5498  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201  normcnm 8205  normOpcnmo 8398

This theorem is referenced by:  nmoub3i 8432  nmobndi 8434

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-grp 8034  df-gid 8035  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215  df-nmo 8402

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