Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmznsg Structured version   Unicode version

Theorem nmznsg 14984
 Description: Any subgroup is a normal subgroup of its normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1
nmzsubg.2
nmzsubg.3
nmznsg.4 s
Assertion
Ref Expression
nmznsg SubGrp NrmSGrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem nmznsg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 20 . . 3 SubGrp SubGrp
2 elnmz.1 . . . 4
3 nmzsubg.2 . . . 4
4 nmzsubg.3 . . . 4
52, 3, 4ssnmz 14982 . . 3 SubGrp
6 subgrcl 14949 . . . . 5 SubGrp
72, 3, 4nmzsubg 14981 . . . . 5 SubGrp
86, 7syl 16 . . . 4 SubGrp SubGrp
9 nmznsg.4 . . . . 5 s
109subsubg 14963 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
118, 10syl 16 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp
121, 5, 11mpbir2and 889 . 2 SubGrp SubGrp
13 ssrab2 3428 . . . . . . 7
142, 13eqsstri 3378 . . . . . 6
1514sseli 3344 . . . . 5
162nmzbi 14980 . . . . 5
1715, 16sylan2 461 . . . 4
1817rgen2a 2772 . . 3
199subgbas 14948 . . . . 5 SubGrp
208, 19syl 16 . . . 4 SubGrp
2120raleqdv 2910 . . . 4 SubGrp
2220, 21raleqbidv 2916 . . 3 SubGrp
2318, 22mpbii 203 . 2 SubGrp
24 eqid 2436 . . 3
25 fvex 5742 . . . . . 6
263, 25eqeltri 2506 . . . . 5
2726, 14ssexi 4348 . . . 4
289, 4ressplusg 13571 . . . 4
2927, 28ax-mp 8 . . 3
3024, 29isnsg 14969 . 2 NrmSGrp SubGrp
3112, 23, 30sylanbrc 646 1 SubGrp NrmSGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  crab 2709  cvv 2956   wss 3320  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   ↾s cress 13470   cplusg 13529  cgrp 14685  SubGrpcsubg 14938  NrmSGrpcnsg 14939 This theorem is referenced by:  sylow3lem4  15264  sylow3lem6  15266 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-nsg 14942
 Copyright terms: Public domain W3C validator