MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0cnd Structured version   Unicode version

Theorem nn0cnd 10276
Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0cnd  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nn0cnd
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
21nn0red 10275 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32recnd 9114 1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   CCcc 8988   NN0cn0 10221
This theorem is referenced by:  expaddzlem  11423  expaddz  11424  expmulz  11426  facdiv  11578  faclbnd4lem3  11586  bcp1n  11607  bcn2m1  11615  bcn2p1  11616  hashgadd  11651  hashdom  11653  hashun3  11658  hashssdif  11677  hashxplem  11696  hashmap  11698  hashbclem  11701  hashf1lem2  11705  hashf1  11706  ccatcl  11743  ccatval3  11747  ccatlid  11748  ccatrid  11749  ccatass  11750  swrdid  11772  swrdccat2  11775  ccatopth2  11777  spllen  11783  splfv2a  11785  cats1un  11790  revccat  11798  isercoll2  12462  iseraltlem3  12477  binomlem  12608  bcxmas  12615  incexclem  12616  incexc  12617  incexc2  12618  climcndslem1  12629  climcndslem2  12630  arisum  12639  arisum2  12640  geomulcvg  12653  mertens  12663  effsumlt  12712  dvdsexp  12905  divalgmod  12926  bitsinv1lem  12953  sadcp1  12967  sadcaddlem  12969  sadadd2lem  12971  sadadd3  12973  sadaddlem  12978  sadasslem  12982  smupp1  12992  smumullem  13004  mulgcd  13046  absmulgcd  13047  mulgcdr  13048  gcddiv  13049  mulgcddvds  13104  qredeu  13107  odzdvds  13181  coprimeprodsq  13183  pceulem  13219  pczpre  13221  pcqmul  13227  pcaddlem  13257  pcmpt  13261  pcmpt2  13262  sumhash  13265  mul4sq  13322  4sqlem12  13324  vdwapun  13342  vdwlem2  13350  vdwlem3  13351  vdwlem6  13354  vdwlem8  13356  vdwlem9  13357  ramub1lem2  13395  ramcl  13397  mulgnn0dir  14913  mulgnn0ass  14919  lagsubg2  15001  odmodnn0  15178  odmulg  15192  odmulgeq  15193  odinv  15197  sylow1lem1  15232  sylow2a  15253  sylow2blem3  15256  sylow3lem3  15263  sylow3lem4  15264  efginvrel2  15359  efgsval2  15365  efgsp1  15369  efgredlemg  15374  efgredleme  15375  efgcpbllemb  15387  odadd2  15464  odadd  15465  torsubg  15469  frgpnabllem1  15484  pgpfaclem1  15639  mplcoe2  16530  coe1tmmul2  16668  coe1tmmul2fv  16670  coe1pwmulfv  16672  mbfi1fseqlem3  19609  dvn2bss  19816  tdeglem4  19983  tdeglem2  19984  mdegmullem  20001  coe1mul3  20022  ply1divex  20059  fta1glem1  20088  plyaddlem1  20132  plymullem1  20133  coeeulem  20143  coemulc  20173  dgrmulc  20189  dgrcolem2  20192  dgrco  20193  dvply1  20201  dvply2g  20202  plydivlem4  20213  fta1lem  20224  vieta1lem1  20227  aareccl  20243  aaliou3lem8  20262  taylply2  20284  dvtaylp  20286  dvntaylp  20287  dvntaylp0  20288  dvradcnv  20337  pserdvlem2  20344  advlogexp  20546  cxpeq  20641  atantayl3  20779  birthdaylem2  20791  harmonicbnd4  20849  wilthlem2  20852  basellem2  20864  basellem3  20865  basellem5  20867  0sgm  20927  sgmppw  20981  chtublem  20995  chpval2  21002  sumdchr2  21054  bcp1ctr  21063  lgslem1  21080  lgseisenlem2  21134  lgseisenlem3  21135  lgsquadlem1  21138  lgsquadlem2  21139  lgsquad2lem2  21143  m1lgs  21146  2sqlem8  21156  dchrisumlem1  21183  dchrisum0flblem2  21203  rpvmasum2  21206  mulogsumlem  21225  selberg2lem  21244  pntrsumo1  21259  pntrlog2bndlem4  21274  cusgrasizeinds  21485  vdgrfiun  21673  eupath2lem3  21701  divnumden2  24161  ballotlemgun  24782  dmgmaddnn0  24811  lgamucov  24822  subfacp1lem6  24871  subfacval2  24873  subfaclim  24874  cvmliftlem7  24978  relexpadd  25138  rtrclreclem.trans  25146  risefacval2  25326  fallfacval2  25327  fallfacval3  25328  risefallfac  25340  risefacp1  25345  fallfacp1  25346  fallfacfwd  25352  binomfallfaclem1  25355  binomfallfaclem2  25356  binomrisefac  25358  faclimlem1  25362  faclim2  25367  bpolycl  26098  bpolysum  26099  bpolydiflem  26100  fsumkthpow  26102  bpoly4  26105  rmxyneg  26983  rmxyadd  26984  rmyp1  26996  rmxm1  26997  rmym1  26998  rmxluc  26999  rmyluc  27000  rmxdbl  27002  rmydbl  27003  jm2.18  27059  jm2.19lem1  27060  jm2.19lem2  27061  jm2.22  27066  jm2.23  27067  jm2.25  27070  jm2.27c  27078  rmxdiophlem  27086  expdioph  27094  hbtlem4  27307  psgnunilem2  27395  stoweidlem24  27749  stirlinglem3  27801  stirlinglem7  27805  fz0addcom  28113  wrdlenccats1lenm1  28180  swrdccat3b  28219  cshwlen  28241  lstccats1fst  28263  swrdtrcfvl  28265  frghash2spot  28452  usgreghash2spotv  28455  frgregordn0  28459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001  df-n0 10222
  Copyright terms: Public domain W3C validator