Theorem nn0ltp1let 6084

Description: Nonnegative integer ordering relation. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ltp1let	|- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))

Proof of Theorem nn0ltp1let

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnltp1let 5912	. . 3 |- ((M e. NN /\ N e. NN) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))
2		breq1 2618	. . . . 5 |- (M = 0 -> (M < N <-> 0 < N))
3		nngt0t 5904	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> 0 < N)
4		nnge1t 5901	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> 1 <_ N)
5		ax1cn 5252	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
6	5	addid2 5314	. . . . . . . 8 |- (0 + 1) = 1
7	4, 6	syl5eqbr 2644	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (0 + 1) <_ N)
8	3, 7	2th 717	. . . . . 6 |- ((N e. NN -> 0 < N) <-> (N e. NN -> (0 + 1) <_ N))
9	8	pm5.74ri 586	. . . . 5 |- (N e. NN -> (0 < N <-> (0 + 1) <_ N))
10	2, 9	sylan9bb 539	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N e. NN) -> (M < N <-> (0 + 1) <_ N))
11		opreq1 3963	. . . . . 6 |- (M = 0 -> (M + 1) = (0 + 1))
12	11	breq1d 2625	. . . . 5 |- (M = 0 -> ((M + 1) <_ N <-> (0 + 1) <_ N))
13	12	adantr 389	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N e. NN) -> ((M + 1) <_ N <-> (0 + 1) <_ N))
14	10, 13	bitr4d 530	. . 3 |- ((M = 0 /\ N e. NN) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))
15		breq2 2619	. . . . 5 |- (N = 0 -> (M < N <-> M < 0))
16		pm5.21 676	. . . . . 6 |- ((-. M < 0 /\ -. (M + 1) <_ 0) -> (M < 0 <-> (M + 1) <_ 0))
17		nngt0t 5904	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> 0 < M)
18		nnret 5887	. . . . . . . 8 |- (M e. NN -> M e. RR)
19		0re 5423	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
20		ltnsymt 5515	. . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ 0 e. RR) -> (M < 0 -> -. 0 < M))
21	19, 20	mpan2 695	. . . . . . . 8 |- (M e. RR -> (M < 0 -> -. 0 < M))
22	18, 21	syl 10	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> (M < 0 -> -. 0 < M))
23	17, 22	mt2d 111	. . . . . 6 |- (M e. NN -> -. M < 0)
24		axlttrn 5487	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ M e. RR /\ (M + 1) e. RR) -> ((0 < M /\ M < (M + 1)) -> 0 < (M + 1)))
25	19, 24	mp3an1 902	. . . . . . . 8 |- ((M e. RR /\ (M + 1) e. RR) -> ((0 < M /\ M < (M + 1)) -> 0 < (M + 1)))
26		peano2re 5419	. . . . . . . . . 10 |- (M e. RR -> (M + 1) e. RR)
27	18, 26	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN -> (M + 1) e. RR)
28	18, 27	jca 288	. . . . . . . 8 |- (M e. NN -> (M e. RR /\ (M + 1) e. RR))
29		ltp1t 5777	. . . . . . . . . 10 |- (M e. RR -> M < (M + 1))
30	18, 29	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN -> M < (M + 1))
31	17, 30	jca 288	. . . . . . . 8 |- (M e. NN -> (0 < M /\ M < (M + 1)))
32	25, 28, 31	sylc 68	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> 0 < (M + 1))
33		ltnlet 5494	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ (M + 1) e. RR) -> (0 < (M + 1) <-> -. (M + 1) <_ 0))
34	19, 33	mpan 694	. . . . . . . 8 |- ((M + 1) e. RR -> (0 < (M + 1) <-> -. (M + 1) <_ 0))
35	18, 26, 34	3syl 20	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> (0 < (M + 1) <-> -. (M + 1) <_ 0))
36	32, 35	mpbid 195	. . . . . 6 |- (M e. NN -> -. (M + 1) <_ 0)
37	16, 23, 36	sylanc 471	. . . . 5 |- (M e. NN -> (M < 0 <-> (M + 1) <_ 0))
38	15, 37	sylan9bbr 540	. . . 4 |- ((M e. NN /\ N = 0) -> (M < N <-> (M + 1) <_ 0))
39		breq2 2619	. . . . 5 |- (N = 0 -> ((M + 1) <_ N <-> (M + 1) <_ 0))
40	39	adantl 388	. . . 4 |- ((M e. NN /\ N = 0) -> ((M + 1) <_ N <-> (M + 1) <_ 0))
41	38, 40	bitr4d 530	. . 3 |- ((M e. NN /\ N = 0) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))
42		breq1 2618	. . . . . . 7 |- (M = 0 -> (M < 0 <-> 0 < 0))
43	19	ltnr 5593	. . . . . . . 8 |- -. 0 < 0
44	19	ltp1 5779	. . . . . . . . 9 |- 0 < (0 + 1)
45		1re 5418	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
46	19, 45	readdcl 5317	. . . . . . . . . 10 |- (0 + 1) e. RR
47	19, 46	ltnle 5562	. . . . . . . . 9 |- (0 < (0 + 1) <-> -. (0 + 1) <_ 0)
48	44, 47	mpbi 189	. . . . . . . 8 |- -. (0 + 1) <_ 0
49	43, 48	2false 718	. . . . . . 7 |- (0 < 0 <-> (0 + 1) <_ 0)
50	42, 49	syl6bb 535	. . . . . 6 |- (M = 0 -> (M < 0 <-> (0 + 1) <_ 0))
51	11	breq1d 2625	. . . . . 6 |- (M = 0 -> ((M + 1) <_ 0 <-> (0 + 1) <_ 0))
52	50, 51	bitr4d 530	. . . . 5 |- (M = 0 -> (M < 0 <-> (M + 1) <_ 0))
53	15, 52	sylan9bbr 540	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N = 0) -> (M < N <-> (M + 1) <_ 0))
54	39	adantl 388	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N = 0) -> ((M + 1) <_ N <-> (M + 1) <_ 0))
55	53, 54	bitr4d 530	. . 3 |- ((M = 0 /\ N = 0) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))
56	1, 14, 41, 55	ccase 754	. 2 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))
57		elnn0 6058	. 2 |- (M e. NN0 <-> (M e. NN \/ M = 0))
58		elnn0 6058	. 2 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
59	56, 57, 58	syl2anb 455	1 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   <_ cle 5278  NNcn 5279  NN0cn0 5280   < clt 5469

This theorem is referenced by:  nn0leltp1t 6085  nn0ltlem1t 6086  zltp1let 6138  nn0opthlem1 6609  faclbnd 6897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883  df-n0 6057

Copyright terms: Public domain