Theorem nn0opthlem1 6609

Description: A rather pretty lemma for nn0opth 6612. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthlem1.1	|- A e. NN0
nn0opthlem1.2	|- C e. NN0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem1	|- (A < C <-> ((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C))

Proof of Theorem nn0opthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthlem1.1	. . . 4 |- A e. NN0
2		1nn0 6071	. . . 4 |- 1 e. NN0
3	1, 2	nn0addcl 6078	. . 3 |- (A + 1) e. NN0
4		nn0opthlem1.2	. . 3 |- C e. NN0
5	3, 4	nn0le2msqt 6608	. 2 |- ((A + 1) <_ C <-> ((A + 1) x. (A + 1)) <_ (C x. C))
6		nn0ltp1let 6084	. . 3 |- ((A e. NN0 /\ C e. NN0) -> (A < C <-> (A + 1) <_ C))
7	1, 4, 6	mp2an 696	. 2 |- (A < C <-> (A + 1) <_ C)
8	1, 1	nn0mulcl 6079	. . . . 5 |- (A x. A) e. NN0
9		2nn0 6072	. . . . . 6 |- 2 e. NN0
10	9, 1	nn0mulcl 6079	. . . . 5 |- (2 x. A) e. NN0
11	8, 10	nn0addcl 6078	. . . 4 |- ((A x. A) + (2 x. A)) e. NN0
12	4, 4	nn0mulcl 6079	. . . 4 |- (C x. C) e. NN0
13		nn0ltp1let 6084	. . . 4 |- ((((A x. A) + (2 x. A)) e. NN0 /\ (C x. C) e. NN0) -> (((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C) <-> (((A x. A) + (2 x. A)) + 1) <_ (C x. C)))
14	11, 12, 13	mp2an 696	. . 3 |- (((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C) <-> (((A x. A) + (2 x. A)) + 1) <_ (C x. C))
15	1	nn0cn 6068	. . . . . . 7 |- A e. CC
16		ax1cn 5252	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
17	15, 16	binom2 6589	. . . . . 6 |- ((A + 1)^2) = (((A^2) + (2 x. (A x. 1))) + (1^2))
18	15, 16	addcl 5303	. . . . . . 7 |- (A + 1) e. CC
19	18	sqval 6559	. . . . . 6 |- ((A + 1)^2) = ((A + 1) x. (A + 1))
20	15	sqval 6559	. . . . . . . 8 |- (A^2) = (A x. A)
21	20	opreq1i 3966	. . . . . . 7 |- ((A^2) + (2 x. (A x. 1))) = ((A x. A) + (2 x. (A x. 1)))
22	16	sqval 6559	. . . . . . 7 |- (1^2) = (1 x. 1)
23	21, 22	opreq12i 3968	. . . . . 6 |- (((A^2) + (2 x. (A x. 1))) + (1^2)) = (((A x. A) + (2 x. (A x. 1))) + (1 x. 1))
24	17, 19, 23	3eqtr3 1501	. . . . 5 |- ((A + 1) x. (A + 1)) = (((A x. A) + (2 x. (A x. 1))) + (1 x. 1))
25	15	mulid1 5315	. . . . . . . 8 |- (A x. 1) = A
26	25	opreq2i 3967	. . . . . . 7 |- (2 x. (A x. 1)) = (2 x. A)
27	26	opreq2i 3967	. . . . . 6 |- ((A x. A) + (2 x. (A x. 1))) = ((A x. A) + (2 x. A))
28	16	mulid1 5315	. . . . . 6 |- (1 x. 1) = 1
29	27, 28	opreq12i 3968	. . . . 5 |- (((A x. A) + (2 x. (A x. 1))) + (1 x. 1)) = (((A x. A) + (2 x. A)) + 1)
30	24, 29	eqtr 1493	. . . 4 |- ((A + 1) x. (A + 1)) = (((A x. A) + (2 x. A)) + 1)
31	30	breq1i 2622	. . 3 |- (((A + 1) x. (A + 1)) <_ (C x. C) <-> (((A x. A) + (2 x. A)) + 1) <_ (C x. C))
32	14, 31	bitr4 176	. 2 |- (((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C) <-> ((A + 1) x. (A + 1)) <_ (C x. C))
33	5, 7, 32	3bitr4 183	1 |- (A < C <-> ((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C))

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 957   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   <_ cle 5278  NN0cn0 5280   < clt 5469  2c2 5918  ^cexp 6513

This theorem is referenced by:  nn0opthlem2 6610  nn0opthlem2OLD 6611

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883  df-2 5927  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-exp 6514

Copyright terms: Public domain