MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0seqcvgd Unicode version

Theorem nn0seqcvgd 12989
Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term  N reaches zero by the  N th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0seqcvgd.1  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> NN0 )
nn0seqcvgd.2  |-  ( ph  ->  N  =  ( F `
 0 ) )
nn0seqcvgd.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
nn0seqcvgd  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  =  0 )
Distinct variable groups:    k, F    k, N    ph, k

Proof of Theorem nn0seqcvgd
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0seqcvgd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  =  ( F `
 0 ) )
2 nn0seqcvgd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> NN0 )
3 0nn0 10169 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
4 ffvelrn 5808 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( F `  0
)  e.  NN0 )
52, 3, 4sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  NN0 )
61, 5eqeltrd 2462 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
76nn0red 10208 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
87leidd 9526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  <_  N )
9 fveq2 5669 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( F `  m )  =  ( F ` 
0 ) )
10 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( N  -  m )  =  ( N  - 
0 ) )
119, 10breq12d 4167 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  0 )  <_ 
( N  -  0 ) ) )
1211imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) ) ) )
13 fveq2 5669 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
14 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  k ) )
1513, 14breq12d 4167 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  k )  <_  ( N  -  k )
) )
1615imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) ) ) )
17 fveq2 5669 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
18 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
1917, 18breq12d 4167 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
2019imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
21 fveq2 5669 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  ( F `  m )  =  ( F `  N ) )
22 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  N ) )
2321, 22breq12d 4167 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N )
) )
2423imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( N  -  N ) ) ) )
251, 8eqbrtrrd 4176 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  N )
267recnd 9048 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2726subid1d 9333 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  =  N )
2825, 27breqtrrd 4180 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) )
2928a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) ) )
30 nn0re 10163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
31 posdif 9454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
3230, 7, 31syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k )
) )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
34 breq1 4157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
3534adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
36 peano2nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
37 ffvelrn 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
382, 36, 37syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
3938nn0zd 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
406nn0zd 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
41 nn0z 10237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
42 zsubcl 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  -  k
)  e.  ZZ )
4340, 41, 42syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
44 zltlem1 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( N  -  k
)  e.  ZZ )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  < 
( N  -  k
)  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( N  -  k
)  -  1 ) ) )
4539, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( N  -  k
)  -  1 ) ) )
46 nn0cn 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
47 ax-1cn 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
48 subsub4 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  -  k
)  -  1 )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
4947, 48mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  -  k )  -  1 )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5026, 46, 49syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( N  -  k )  -  1 )  =  ( N  -  (
k  +  1 ) ) )
5150breq2d 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( N  -  k )  - 
1 )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5245, 51bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5352adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5433, 35, 533bitr2d 273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( k  <  N  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5554biimpa 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  /\  k  <  N )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5655an32s 780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5756a1d 23 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
58 nn0seqcvgd.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k ) ) )
5938nn0red 10208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
602ffvelrnda 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  NN0 )
6160nn0red 10208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6243zred 10308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  -  k )  e.  RR )
63 ltletr 9100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( N  -  k )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )
) )
6459, 61, 62, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( F `
 k )  /\  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( N  -  k ) ) )
6564, 52sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( F `
 k )  /\  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6658, 65syland 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  =/=  0  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6867expdimp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0 )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6957, 68pm2.61dane 2629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  (
( F `  k
)  <_  ( N  -  k )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
7069anasss 629 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  k  < 
N ) )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
7170expcom 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <  N )  -> 
( ph  ->  ( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7271a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <  N )  -> 
( ( ph  ->  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( ph  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( N  -  (
k  +  1 ) ) ) ) )
73723adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0  /\  k  <  N )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 k )  <_ 
( N  -  k
) )  ->  ( ph  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7412, 16, 20, 24, 29, 73fnn0ind 10302 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  N  <_  N )  ->  ( ph  ->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N )
) )
756, 6, 8, 74syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ph  ->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N
) ) )
7675pm2.43i 45 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( N  -  N ) )
7726subidd 9332 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
7876, 77breqtrd 4178 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  0 )
792, 6ffvelrnd 5811 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  NN0 )
8079nn0ge0d 10210 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  N ) )
8179nn0red 10208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
82 0re 9025 . . 3  |-  0  e.  RR
83 letri3 9094 . . 3  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( F `  N )  =  0  <-> 
( ( F `  N )  <_  0  /\  0  <_  ( F `
 N ) ) ) )
8481, 82, 83sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  =  0  <-> 
( ( F `  N )  <_  0  /\  0  <_  ( F `
 N ) ) ) )
8578, 80, 84mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   class class class wbr 4154   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224   NN0cn0 10154   ZZcz 10215
This theorem is referenced by:  algcvg  12995  nn0seqcvg  24893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216
  Copyright terms: Public domain W3C validator