Theorem nn0subt 6163

Description: Subtraction of nonnegative integers.

Assertion

Ref	Expression
nn0subt	|- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M <_ N <-> (N - M) e. NN0))

Proof of Theorem nn0subt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsubt 5959	. . . . . . . 8 |- ((M e. NN /\ N e. NN) -> (M < N <-> (N - M) e. NN))
2	1	ex 373	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> (N e. NN -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
3		breq2 2628	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> (M < N <-> M < 0))
4		opreq1 3974	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 -> (N - M) = (0 - M))
5	4	eleq1d 1543	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> ((N - M) e. NN <-> (0 - M) e. NN))
6	3, 5	bibi12d 631	. . . . . . . 8 |- (N = 0 -> ((M < N <-> (N - M) e. NN) <-> (M < 0 <-> (0 - M) e. NN)))
7		nnret 5931	. . . . . . . . . 10 |- (M e. NN -> M e. RR)
8		lt0neg1t 5680	. . . . . . . . . 10 |- (M e. RR -> (M < 0 <-> 0 < -uM))
9	7, 8	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN -> (M < 0 <-> 0 < -uM))
10		nnnegz 6140	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. NN -> -uM e. ZZ)
11		elnnz 6147	. . . . . . . . . . . 12 |- (-uM e. NN <-> (-uM e. ZZ /\ 0 < -uM))
12	11	baib 687	. . . . . . . . . . 11 |- (-uM e. ZZ -> (-uM e. NN <-> 0 < -uM))
13	10, 12	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (M e. NN -> (-uM e. NN <-> 0 < -uM))
14		df-neg 5370	. . . . . . . . . . 11 |- -uM = (0 - M)
15	14	eleq1i 1540	. . . . . . . . . 10 |- (-uM e. NN <-> (0 - M) e. NN)
16	13, 15	syl5rbbr 537	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN -> (0 < -uM <-> (0 - M) e. NN))
17	9, 16	bitrd 530	. . . . . . . 8 |- (M e. NN -> (M < 0 <-> (0 - M) e. NN))
18	6, 17	syl5cbir 211	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> (N = 0 -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
19	2, 18	jaod 426	. . . . . 6 |- (M e. NN -> ((N e. NN \/ N = 0) -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
20		breq1 2627	. . . . . . . . 9 |- (M = 0 -> (M < N <-> 0 < N))
21		opreq2 3975	. . . . . . . . . 10 |- (M = 0 -> (N - M) = (N - 0))
22	21	eleq1d 1543	. . . . . . . . 9 |- (M = 0 -> ((N - M) e. NN <-> (N - 0) e. NN))
23	20, 22	bibi12d 631	. . . . . . . 8 |- (M = 0 -> ((M < N <-> (N - M) e. NN) <-> (0 < N <-> (N - 0) e. NN)))
24		nnzt 6155	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> N e. ZZ)
25		zcnt 6142	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
26		subid1t 5408	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. CC -> (N - 0) = N)
27	26	eleq1d 1543	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. CC -> ((N - 0) e. NN <-> N e. NN))
28	25, 27	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (N e. ZZ -> ((N - 0) e. NN <-> N e. NN))
29		elnnz 6147	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))
30	29	baib 687	. . . . . . . . . 10 |- (N e. ZZ -> (N e. NN <-> 0 < N))
31	28, 30	bitr2d 531	. . . . . . . . 9 |- (N e. ZZ -> (0 < N <-> (N - 0) e. NN))
32	24, 31	syl 10	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (0 < N <-> (N - 0) e. NN))
33	23, 32	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- (M = 0 -> (N e. NN -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
34		0re 5452	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
35	34	ltnr 5621	. . . . . . . . . 10 |- -. 0 < 0
36		0nnn 5950	. . . . . . . . . . 11 |- -. 0 e. NN
37		0cn 5340	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
38	37	subid 5403	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 - 0) = 0
39	38	eleq1i 1540	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 - 0) e. NN <-> 0 e. NN)
40	36, 39	mtbir 192	. . . . . . . . . 10 |- -. (0 - 0) e. NN
41	35, 40	2false 721	. . . . . . . . 9 |- (0 < 0 <-> (0 - 0) e. NN)
42		breq2 2628	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 -> (0 < N <-> 0 < 0))
43		opreq1 3974	. . . . . . . . . . 11 |- (N = 0 -> (N - 0) = (0 - 0))
44	43	eleq1d 1543	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 -> ((N - 0) e. NN <-> (0 - 0) e. NN))
45	42, 44	bibi12d 631	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> ((0 < N <-> (N - 0) e. NN) <-> (0 < 0 <-> (0 - 0) e. NN)))
46	41, 45	mpbiri 194	. . . . . . . 8 |- (N = 0 -> (0 < N <-> (N - 0) e. NN))
47	23, 46	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- (M = 0 -> (N = 0 -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
48	33, 47	jaod 426	. . . . . 6 |- (M = 0 -> ((N e. NN \/ N = 0) -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
49	19, 48	jaoi 341	. . . . 5 |- ((M e. NN \/ M = 0) -> ((N e. NN \/ N = 0) -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
50	49	imp 350	. . . 4 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M < N <-> (N - M) e. NN))
51		subeq0t 5415	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ M e. CC) -> ((N - M) = 0 <-> N = M))
52		eqcom 1480	. . . . . . 7 |- (M = N <-> N = M)
53	51, 52	syl6rbbr 541	. . . . . 6 |- ((N e. CC /\ M e. CC) -> (M = N <-> (N - M) = 0))
54	53	ancoms 438	. . . . 5 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (M = N <-> (N - M) = 0))
55		nncnt 5932	. . . . . 6 |- (M e. NN -> M e. CC)
56		eleq1 1537	. . . . . . 7 |- (M = 0 -> (M e. CC <-> 0 e. CC))
57	37, 56	mpbiri 194	. . . . . 6 |- (M = 0 -> M e. CC)
58	55, 57	jaoi 341	. . . . 5 |- ((M e. NN \/ M = 0) -> M e. CC)
59		nncnt 5932	. . . . . 6 |- (N e. NN -> N e. CC)
60		eleq1 1537	. . . . . . 7 |- (N = 0 -> (N e. CC <-> 0 e. CC))
61	37, 60	mpbiri 194	. . . . . 6 |- (N = 0 -> N e. CC)
62	59, 61	jaoi 341	. . . . 5 |- ((N e. NN \/ N = 0) -> N e. CC)
63	54, 58, 62	syl2an 456	. . . 4 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M = N <-> (N - M) = 0))
64	50, 63	orbi12d 629	. . 3 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> ((M < N \/ M = N) <-> ((N - M) e. NN \/ (N - M) = 0)))
65		leloet 5530	. . . 4 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
66		eleq1 1537	. . . . . 6 |- (M = 0 -> (M e. RR <-> 0 e. RR))
67	34, 66	mpbiri 194	. . . . 5 |- (M = 0 -> M e. RR)
68	7, 67	jaoi 341	. . . 4 |- ((M e. NN \/ M = 0) -> M e. RR)
69		nnret 5931	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. RR)
70		eleq1 1537	. . . . . 6 |- (N = 0 -> (N e. RR <-> 0 e. RR))
71	34, 70	mpbiri 194	. . . . 5 |- (N = 0 -> N e. RR)
72	69, 71	jaoi 341	. . . 4 |- ((N e. NN \/ N = 0) -> N e. RR)
73	65, 68, 72	syl2an 456	. . 3 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
74		elnn0 6103	. . . 4 |- ((N - M) e. NN0 <-> ((N - M) e. NN \/ (N - M) = 0))
75	74	a1i 8	. . 3 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> ((N - M) e. NN0 <-> ((N - M) e. NN \/ (N - M) = 0)))
76	64, 73, 75	3bitr4d 552	. 2 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M <_ N <-> (N - M) e. NN0))
77		elnn0 6103	. 2 |- (M e. NN0 <-> (M e. NN \/ M = 0))
78		elnn0 6103	. 2 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
79	76, 77, 78	syl2anb 457	1 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M <_ N <-> (N - M) e. NN0))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   - cmin 5304  -ucneg 5305   <_ cle 5307  NNcn 5308  NN0cn0 5309  ZZcz 5310   < clt 5498

This theorem is referenced by:  nn0sub2t 6164  zaddclt 6167  expsubt 6599  bccmplt 6962  bcpasc2 6967

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927