MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0zd Unicode version

Theorem nn0zd 10357
Description: A natural number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0zd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0zd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nn0zd
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 10286 . 2  |-  NN0  C_  ZZ
2 nn0zd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
31, 2sseldi 3333 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   NN0cn0 10205   ZZcz 10266
This theorem is referenced by:  nnzd  10358  zmodfz  11251  expnegz  11397  expaddzlem  11406  expaddz  11407  expmulz  11409  faclbnd  11564  bcpasc  11595  hashtpg  11674  hashf1  11689  fz1isolem  11693  ccatcl  11726  ccatval1  11728  ccatval3  11730  ccatass  11733  swrdccat1  11757  swrdccat2  11758  splfv2a  11768  splval2  11769  revcl  11776  revccat  11781  revrev  11782  revco  11786  ccatco  11787  nnabscl  12112  absrdbnd  12128  iseraltlem3  12460  fsum0diaglem  12543  binomlem  12591  binom1p  12593  incexc2  12601  climcndslem1  12612  geoser  12629  geolim2  12631  mertenslem1  12644  mertenslem2  12645  mertens  12646  ruclem10  12821  divalglem9  12904  divalgmod  12909  bitsfzolem  12929  bitsfzo  12930  bitsmod  12931  bitsfi  12932  bitsinv1lem  12936  sadcaddlem  12952  sadadd3  12956  sadaddlem  12961  sadadd  12962  sadasslem  12965  sadass  12966  sadeq  12967  bitsres  12968  bitsuz  12969  bitsshft  12970  smuval2  12977  smupvallem  12978  smupval  12983  smueqlem  12985  smumullem  12987  smumul  12988  gcdcllem1  12994  gcd0id  13006  gcdneg  13009  gcdabs2  13018  modgcd  13019  bezoutlem4  13024  dvdsgcdb  13027  gcdass  13028  mulgcd  13029  absmulgcd  13030  gcdeq  13035  dvdsmulgcd  13037  nn0seqcvgd  13044  algfx  13054  eucalginv  13058  eucalg  13061  sqnprm  13081  mulgcddvds  13087  rpmulgcd2  13088  qredeu  13090  divnumden  13123  coprimeprodsq  13166  iserodd  13192  pclem  13195  pcpre1  13199  pcpremul  13200  pcqcl  13213  pcdvdsb  13225  pcidlem  13228  pc2dvds  13235  pcprmpw2  13238  pcadd  13241  pcfac  13251  pcbc  13252  pockthlem  13256  prmreclem2  13268  prmreclem3  13269  mul4sqlem  13304  4sqlem11  13306  4sqlem12  13307  4sqlem14  13309  vdwapun  13325  lagsubg  14985  odmodnn0  15161  mndodconglem  15162  mndodcong  15163  odmulg2  15174  odmulg  15175  odmulgeq  15176  odbezout  15177  odinv  15180  odf1  15181  gexod  15203  gexdvds3  15207  sylow1lem1  15215  sylow1lem3  15217  pgpfi  15222  pgpssslw  15231  sylow2alem2  15235  sylow2blem3  15239  fislw  15242  sylow3lem4  15247  sylow3lem6  15249  efginvrel2  15342  efgredlemf  15356  efgredlemd  15359  efgredlemc  15360  efgredlem  15362  efgcpbllemb  15370  odadd1  15446  odadd2  15447  gexexlem  15450  gexex  15451  torsubg  15452  lt6abl  15487  gsummulg  15520  ablfacrplem  15606  ablfacrp  15607  ablfacrp2  15608  ablfac1b  15611  ablfac1c  15612  ablfac1eulem  15613  ablfac1eu  15614  pgpfac1lem2  15616  pgpfaclem1  15622  ablfaclem3  15628  psrbaglefi  16420  chrid  16791  znunit  16827  dyadss  19469  dyaddisjlem  19470  ply1divex  20042  ply1termlem  20105  plyeq0lem  20112  plyaddlem1  20115  plymullem1  20116  coeeulem  20126  coeidlem  20139  coeeq2  20144  coemulhi  20155  dvply1  20184  dvply2g  20185  plydivex  20197  elqaalem2  20220  aareccl  20226  aannenlem1  20228  aalioulem1  20232  taylplem1  20262  taylplem2  20263  taylpfval  20264  dvtaylp  20269  taylthlem2  20273  dvradcnv  20320  abelthlem7  20337  cxpeq  20624  birthdaylem2  20774  ftalem1  20838  basellem3  20848  isppw2  20881  isnsqf  20901  mule1  20914  ppinncl  20940  musum  20959  chtublem  20978  pclogsum  20982  vmasum  20983  dchrabs  21027  bcmax  21045  bposlem1  21051  bposlem6  21056  lgsval2lem  21073  lgsmod  21088  lgsdirprm  21096  lgsne0  21100  lgseisenlem1  21116  lgseisenlem2  21117  lgseisenlem3  21118  lgseisenlem4  21119  lgsquadlem1  21121  m1lgs  21129  2sqlem8  21139  chebbnd1lem1  21146  dchrisumlem1  21166  dchrisum0flblem1  21185  selberg2lem  21227  ostth2lem2  21311  ostth2lem3  21312  eupath2lem3  21684  eupath2  21685  gxnn0mul  21848  qqhval2lem  24348  subfacval3  24858  binomfallfaclem2  25340  binomrisefac  25342  fallfacval4  25343  bpolydiflem  26043  geomcau  26397  eldioph2lem1  26750  pellexlem5  26828  congrep  26970  bezoutr  26982  bezoutr1  26983  zabscl  26985  jm2.18  26991  jm2.19lem1  26992  jm2.19lem2  26993  jm2.19  26996  jm2.22  26998  jm2.23  26999  jm2.20nn  27000  jm2.25  27002  jm2.26a  27003  jm2.26lem3  27004  jm2.26  27005  jm2.27a  27008  jm2.27b  27009  jm2.27c  27010  jm3.1  27023  expdiophlem1  27024  hbtlem5  27242  psgnuni  27332  psgnghm  27347  wallispilem1  27723  wallispilem5  27727  stirlinglem3  27734  stirlinglem5  27736  stirlinglem7  27738  stirlinglem8  27739  stirlinglem10  27741  elfzelfzadd  28024  swrdccatin2  28060  swrdccat3  28071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-nn 9985  df-n0 10206  df-z 10267
  Copyright terms: Public domain W3C validator