MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0zd Structured version   Unicode version

Theorem nn0zd 10404
Description: A natural number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0zd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0zd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nn0zd
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 10333 . 2  |-  NN0  C_  ZZ
2 nn0zd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
31, 2sseldi 3332 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1727   NN0cn0 10252   ZZcz 10313
This theorem is referenced by:  nnzd  10405  zmodfz  11299  expnegz  11445  expaddzlem  11454  expaddz  11455  expmulz  11457  faclbnd  11612  bcpasc  11643  hashtpg  11722  hashf1  11737  fz1isolem  11741  ccatcl  11774  ccatval1  11776  ccatval3  11778  ccatass  11781  swrdccat1  11805  swrdccat2  11806  splfv2a  11816  splval2  11817  revcl  11824  revccat  11829  revrev  11830  revco  11834  ccatco  11835  nnabscl  12160  absrdbnd  12176  iseraltlem3  12508  fsum0diaglem  12591  binomlem  12639  binom1p  12641  incexc2  12649  climcndslem1  12660  geoser  12677  geolim2  12679  mertenslem1  12692  mertenslem2  12693  mertens  12694  ruclem10  12869  divalglem9  12952  divalgmod  12957  bitsfzolem  12977  bitsfzo  12978  bitsmod  12979  bitsfi  12980  bitsinv1lem  12984  sadcaddlem  13000  sadadd3  13004  sadaddlem  13009  sadadd  13010  sadasslem  13013  sadass  13014  sadeq  13015  bitsres  13016  bitsuz  13017  bitsshft  13018  smuval2  13025  smupvallem  13026  smupval  13031  smueqlem  13033  smumullem  13035  smumul  13036  gcdcllem1  13042  gcd0id  13054  gcdneg  13057  gcdabs2  13066  modgcd  13067  bezoutlem4  13072  dvdsgcdb  13075  gcdass  13076  mulgcd  13077  absmulgcd  13078  gcdeq  13083  dvdsmulgcd  13085  nn0seqcvgd  13092  algfx  13102  eucalginv  13106  eucalg  13109  sqnprm  13129  mulgcddvds  13135  rpmulgcd2  13136  qredeu  13138  divnumden  13171  coprimeprodsq  13214  iserodd  13240  pclem  13243  pcpre1  13247  pcpremul  13248  pcqcl  13261  pcdvdsb  13273  pcidlem  13276  pc2dvds  13283  pcprmpw2  13286  pcadd  13289  pcfac  13299  pcbc  13300  pockthlem  13304  prmreclem2  13316  prmreclem3  13317  mul4sqlem  13352  4sqlem11  13354  4sqlem12  13355  4sqlem14  13357  vdwapun  13373  lagsubg  15033  odmodnn0  15209  mndodconglem  15210  mndodcong  15211  odmulg2  15222  odmulg  15223  odmulgeq  15224  odbezout  15225  odinv  15228  odf1  15229  gexod  15251  gexdvds3  15255  sylow1lem1  15263  sylow1lem3  15265  pgpfi  15270  pgpssslw  15279  sylow2alem2  15283  sylow2blem3  15287  fislw  15290  sylow3lem4  15295  sylow3lem6  15297  efginvrel2  15390  efgredlemf  15404  efgredlemd  15407  efgredlemc  15408  efgredlem  15410  efgcpbllemb  15418  odadd1  15494  odadd2  15495  gexexlem  15498  gexex  15499  torsubg  15500  lt6abl  15535  gsummulg  15568  ablfacrplem  15654  ablfacrp  15655  ablfacrp2  15656  ablfac1b  15659  ablfac1c  15660  ablfac1eulem  15661  ablfac1eu  15662  pgpfac1lem2  15664  pgpfaclem1  15670  ablfaclem3  15676  psrbaglefi  16468  chrid  16839  znunit  16875  dyadss  19517  dyaddisjlem  19518  ply1divex  20090  ply1termlem  20153  plyeq0lem  20160  plyaddlem1  20163  plymullem1  20164  coeeulem  20174  coeidlem  20187  coeeq2  20192  coemulhi  20203  dvply1  20232  dvply2g  20233  plydivex  20245  elqaalem2  20268  aareccl  20274  aannenlem1  20276  aalioulem1  20280  taylplem1  20310  taylplem2  20311  taylpfval  20312  dvtaylp  20317  taylthlem2  20321  dvradcnv  20368  abelthlem7  20385  cxpeq  20672  birthdaylem2  20822  ftalem1  20886  basellem3  20896  isppw2  20929  isnsqf  20949  mule1  20962  ppinncl  20988  musum  21007  chtublem  21026  pclogsum  21030  vmasum  21031  dchrabs  21075  bcmax  21093  bposlem1  21099  bposlem6  21104  lgsval2lem  21121  lgsmod  21136  lgsdirprm  21144  lgsne0  21148  lgseisenlem1  21164  lgseisenlem2  21165  lgseisenlem3  21166  lgseisenlem4  21167  lgsquadlem1  21169  m1lgs  21177  2sqlem8  21187  chebbnd1lem1  21194  dchrisumlem1  21214  dchrisum0flblem1  21233  selberg2lem  21275  ostth2lem2  21359  ostth2lem3  21360  eupath2lem3  21732  eupath2  21733  gxnn0mul  21896  qqhval2lem  24396  subfacval3  24906  binomfallfaclem2  25387  binomrisefac  25389  fallfacval4  25390  bpolydiflem  26131  geomcau  26503  eldioph2lem1  26856  pellexlem5  26934  congrep  27076  bezoutr  27088  bezoutr1  27089  zabscl  27091  jm2.18  27097  jm2.19lem1  27098  jm2.19lem2  27099  jm2.19  27102  jm2.22  27104  jm2.23  27105  jm2.20nn  27106  jm2.25  27108  jm2.26a  27109  jm2.26lem3  27110  jm2.26  27111  jm2.27a  27114  jm2.27b  27115  jm2.27c  27116  jm3.1  27129  expdiophlem1  27130  hbtlem5  27347  psgnuni  27437  psgnghm  27452  wallispilem1  27828  wallispilem5  27832  stirlinglem3  27839  stirlinglem5  27841  stirlinglem7  27843  stirlinglem8  27844  stirlinglem10  27846  elfzelfzadd  28157  ccatsymb  28235  swrdtrcfv0  28253  swrdccatin2  28268  swrdccatin12  28272  cshwoor  28295  lstccats1fst  28321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314
  Copyright terms: Public domain W3C validator