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Theorem nn2ge 10025
Description: There exists a natural number greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nn2ge  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nn2ge
StepHypRef Expression
1 nnre 10007 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
21adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
3 nnre 10007 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
43adantl 453 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
5 leid 9169 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  B )
65biantrud 494 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
76biimpa 471 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )
83, 7sylan 458 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  <_  B )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )
9 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
10 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( B  <_  x  <->  B  <_  B ) )
119, 10anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  <_  x  /\  B  <_  x )  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
1211rspcev 3052 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN  /\  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
138, 12syldan 457 . . 3  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
1413adantll 695 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A  <_  B
)  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x
) )
15 leid 9169 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  A )
1615anim1i 552 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  <_  A )  -> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )
171, 16sylan 458 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  <_  A )  -> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )
18 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  A ) )
19 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( B  <_  x  <->  B  <_  A ) )
2018, 19anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  <_  x  /\  B  <_  x )  <-> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) ) )
2120rspcev 3052 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
2217, 21syldan 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  <_  A )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
2322adantlr 696 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  B  <_  A
)  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x
) )
242, 4, 14, 23lecasei 9179 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   RRcr 8989    <_ cle 9121   NNcn 10000
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-nn 10001
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