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Theorem nn2ge 9787
Description: There exists a natural number greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nn2ge  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nn2ge
StepHypRef Expression
1 nnre 9769 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
3 nnre 9769 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
43adantl 452 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
5 leid 8932 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  B )
65biantrud 493 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
76biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )
83, 7sylan 457 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  <_  B )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )
9 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
10 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( B  <_  x  <->  B  <_  B ) )
119, 10anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  <_  x  /\  B  <_  x )  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
1211rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN  /\  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
138, 12syldan 456 . . 3  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
1413adantll 694 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A  <_  B
)  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x
) )
15 leid 8932 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  A )
1615anim1i 551 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  <_  A )  -> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )
171, 16sylan 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  <_  A )  -> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )
18 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  A ) )
19 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( B  <_  x  <->  B  <_  A ) )
2018, 19anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  <_  x  /\  B  <_  x )  <-> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) ) )
2120rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
2217, 21syldan 456 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  <_  A )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
2322adantlr 695 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  B  <_  A
)  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x
) )
242, 4, 14, 23lecasei 8942 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   RRcr 8752    <_ cle 8884   NNcn 9762
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-nn 9763
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