MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnacl Unicode version

Theorem nnacl 6604
Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnacl  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem nnacl
StepHypRef Expression
1 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  B
) )
21eleq1d 2350 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  +o  x
)  e.  om  <->  ( A  +o  B )  e.  om ) )
32imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  +o  x
)  e.  om )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  B )  e.  om ) ) )
4 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
54eleq1d 2350 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x )  e.  om  <->  ( A  +o  (/) )  e.  om ) )
6 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
76eleq1d 2350 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  e.  om  <->  ( A  +o  y )  e.  om ) )
8 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
98eleq1d 2350 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  e.  om  <->  ( A  +o  suc  y
)  e.  om )
)
10 nna0 6597 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
1110eleq1d 2350 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e. 
om 
<->  A  e.  om )
)
1211ibir 235 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  e.  om )
13 peano2 4675 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  y )  e.  om  ->  suc  ( A  +o  y
)  e.  om )
14 nnasuc 6599 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
1514eleq1d 2350 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +o  suc  y )  e.  om  <->  suc  ( A  +o  y
)  e.  om )
)
1613, 15syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  om  ->  ( A  +o  suc  y )  e.  om ) )
1716expcom 426 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  +o  y
)  e.  om  ->  ( A  +o  suc  y
)  e.  om )
) )
185, 7, 9, 12, 17finds2 4683 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  x )  e.  om ) )
193, 18vtoclga 2850 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  B )  e.  om ) )
2019impcom 421 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   (/)c0 3456   suc csuc 4393   omcom 4655  (class class class)co 5819    +o coa 6471
This theorem is referenced by:  nnmcl  6605  nnacli  6607  nnarcl  6609  nnaord  6612  nnawordi  6614  nnaass  6615  nndi  6616  nnaword  6620  nnawordex  6630  oaabslem  6636  unfilem1  7116  unfi  7119  nnacda  7822  ficardun  7823  ficardun2  7824  pwsdompw  7825  addclpi  8511  hashgadd  11353  hashdom  11355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-oadd 6478
  Copyright terms: Public domain W3C validator