Theorem nnacl 4222

Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59.

Assertion

Ref	Expression
nnacl	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) e. om)

Proof of Theorem nnacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3964	. . . . 5 |- (x = (/) -> (A +o x) = (A +o (/)))
2	1	eleq1d 1538	. . . 4 |- (x = (/) -> ((A +o x) e. om <-> (A +o (/)) e. om))
3	2	imbi2d 611	. . 3 |- (x = (/) -> ((A e. om -> (A +o x) e. om) <-> (A e. om -> (A +o (/)) e. om)))
4		opreq2 3964	. . . . 5 |- (x = y -> (A +o x) = (A +o y))
5	4	eleq1d 1538	. . . 4 |- (x = y -> ((A +o x) e. om <-> (A +o y) e. om))
6	5	imbi2d 611	. . 3 |- (x = y -> ((A e. om -> (A +o x) e. om) <-> (A e. om -> (A +o y) e. om)))
7		opreq2 3964	. . . . 5 |- (x = suc y -> (A +o x) = (A +o suc y))
8	7	eleq1d 1538	. . . 4 |- (x = suc y -> ((A +o x) e. om <-> (A +o suc y) e. om))
9	8	imbi2d 611	. . 3 |- (x = suc y -> ((A e. om -> (A +o x) e. om) <-> (A e. om -> (A +o suc y) e. om)))
10		opreq2 3964	. . . . 5 |- (x = B -> (A +o x) = (A +o B))
11	10	eleq1d 1538	. . . 4 |- (x = B -> ((A +o x) e. om <-> (A +o B) e. om))
12	11	imbi2d 611	. . 3 |- (x = B -> ((A e. om -> (A +o x) e. om) <-> (A e. om -> (A +o B) e. om)))
13		nna0 4216	. . . . 5 |- (A e. om -> (A +o (/)) = A)
14	13	eleq1d 1538	. . . 4 |- (A e. om -> ((A +o (/)) e. om <-> A e. om))
15	14	ibir 592	. . 3 |- (A e. om -> (A +o (/)) e. om)
16		nnasuc 4218	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o suc y) = suc (A +o y))
17	16	eleq1d 1538	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A +o suc y) e. om <-> suc (A +o y) e. om))
18		peano2 3146	. . . . . 6 |- ((A +o y) e. om -> suc (A +o y) e. om)
19	17, 18	syl5bir 210	. . . . 5 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A +o y) e. om -> (A +o suc y) e. om))
20	19	expcom 374	. . . 4 |- (y e. om -> (A e. om -> ((A +o y) e. om -> (A +o suc y) e. om)))
21	20	a2d 13	. . 3 |- (y e. om -> ((A e. om -> (A +o y) e. om) -> (A e. om -> (A +o suc y) e. om)))
22	3, 6, 9, 12, 15, 21	finds 3152	. 2 |- (B e. om -> (A e. om -> (A +o B) e. om))
23	22	impcom 351	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) e. om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  (/)c0 2277  suc csuc 2946  omcom 3127  (class class class)co 3958   +o coa 4123

This theorem is referenced by:  nnmcl 4223  nnarcl 4225  oaabslem 4244  nneob 4248  unfilem1 4533  unfi 4537  addclpi 5003

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-oadd 4128

Copyright terms: Public domain