Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnacl Unicode version

Theorem nnacl 6609
 Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnacl

Proof of Theorem nnacl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . 5
21eleq1d 2349 . . . 4
32imbi2d 307 . . 3
4 oveq2 5866 . . . . 5
54eleq1d 2349 . . . 4
6 oveq2 5866 . . . . 5
76eleq1d 2349 . . . 4
8 oveq2 5866 . . . . 5
98eleq1d 2349 . . . 4
10 nna0 6602 . . . . . 6
1110eleq1d 2349 . . . . 5
1211ibir 233 . . . 4
13 peano2 4676 . . . . . 6
14 nnasuc 6604 . . . . . . 7
1514eleq1d 2349 . . . . . 6
1613, 15syl5ibr 212 . . . . 5
1716expcom 424 . . . 4
185, 7, 9, 12, 17finds2 4684 . . 3
193, 18vtoclga 2849 . 2
2019impcom 419 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  c0 3455   csuc 4394  com 4656  (class class class)co 5858   coa 6476 This theorem is referenced by:  nnmcl  6610  nnacli  6612  nnarcl  6614  nnaord  6617  nnawordi  6619  nnaass  6620  nndi  6621  nnaword  6625  nnawordex  6635  oaabslem  6641  unfilem1  7121  unfi  7124  nnacda  7827  ficardun  7828  ficardun2  7829  pwsdompw  7830  addclpi  8516  hashgadd  11359  hashdom  11361 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483
 Copyright terms: Public domain W3C validator