MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnacl Unicode version

Theorem nnacl 6577
Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnacl  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )

Proof of Theorem nnacl
StepHypRef Expression
1 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  B
) )
21eleq1d 2324 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  +o  x
)  e.  om  <->  ( A  +o  B )  e.  om ) )
32imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  +o  x
)  e.  om )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  B )  e.  om ) ) )
4 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
54eleq1d 2324 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x )  e.  om  <->  ( A  +o  (/) )  e.  om ) )
6 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
76eleq1d 2324 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  e.  om  <->  ( A  +o  y )  e.  om ) )
8 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
98eleq1d 2324 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  e.  om  <->  ( A  +o  suc  y
)  e.  om )
)
10 nna0 6570 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
1110eleq1d 2324 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e. 
om 
<->  A  e.  om )
)
1211ibir 235 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  e.  om )
13 peano2 4648 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  y )  e.  om  ->  suc  ( A  +o  y
)  e.  om )
14 nnasuc 6572 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
1514eleq1d 2324 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +o  suc  y )  e.  om  <->  suc  ( A  +o  y
)  e.  om )
)
1613, 15syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  om  ->  ( A  +o  suc  y )  e.  om ) )
1716expcom 426 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  +o  y
)  e.  om  ->  ( A  +o  suc  y
)  e.  om )
) )
185, 7, 9, 12, 17finds2 4656 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  x )  e.  om ) )
193, 18vtoclga 2824 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  B )  e.  om ) )
2019impcom 421 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3430   suc csuc 4366   omcom 4628  (class class class)co 5792    +o coa 6444
This theorem is referenced by:  nnmcl  6578  nnacli  6580  nnarcl  6582  nnaord  6585  nnawordi  6587  nnaass  6588  nndi  6589  nnaword  6593  nnawordex  6603  oaabslem  6609  unfilem1  7089  unfi  7092  nnacda  7795  ficardun  7796  ficardun2  7797  pwsdompw  7798  addclpi  8484  hashgadd  11325  hashdom  11327
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-oadd 6451
  Copyright terms: Public domain W3C validator