MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnacl Unicode version

Theorem nnacl 6625
Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnacl  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )

Proof of Theorem nnacl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  B
) )
21eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  +o  x
)  e.  om  <->  ( A  +o  B )  e.  om ) )
32imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  +o  x
)  e.  om )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  B )  e.  om ) ) )
4 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
54eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x )  e.  om  <->  ( A  +o  (/) )  e.  om ) )
6 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
76eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  e.  om  <->  ( A  +o  y )  e.  om ) )
8 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
98eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  e.  om  <->  ( A  +o  suc  y
)  e.  om )
)
10 nna0 6618 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
1110eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e. 
om 
<->  A  e.  om )
)
1211ibir 233 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  e.  om )
13 peano2 4692 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  y )  e.  om  ->  suc  ( A  +o  y
)  e.  om )
14 nnasuc 6620 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
1514eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +o  suc  y )  e.  om  <->  suc  ( A  +o  y
)  e.  om )
)
1613, 15syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  om  ->  ( A  +o  suc  y )  e.  om ) )
1716expcom 424 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  +o  y
)  e.  om  ->  ( A  +o  suc  y
)  e.  om )
) )
185, 7, 9, 12, 17finds2 4700 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  x )  e.  om ) )
193, 18vtoclga 2862 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  B )  e.  om ) )
2019impcom 419 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   (/)c0 3468   suc csuc 4410   omcom 4672  (class class class)co 5874    +o coa 6492
This theorem is referenced by:  nnmcl  6626  nnacli  6628  nnarcl  6630  nnaord  6633  nnawordi  6635  nnaass  6636  nndi  6637  nnaword  6641  nnawordex  6651  oaabslem  6657  unfilem1  7137  unfi  7140  nnacda  7843  ficardun  7844  ficardun2  7845  pwsdompw  7846  addclpi  8532  hashgadd  11375  hashdom  11377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499
  Copyright terms: Public domain W3C validator