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Theorem nnacom 6853
Description: Addition of natural numbers is commutative. Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 6-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnacom  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) )

Proof of Theorem nnacom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6081 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  +o  B )  =  ( A  +o  B ) )
2 oveq2 6082 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  A
) )
31, 2eqeq12d 2450 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  +o  B
)  =  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  B )  =  ( B  +o  A ) ) )
43imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  om  ->  ( x  +o  B
)  =  ( B  +o  x ) )  <-> 
( B  e.  om  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) ) ) )
5 oveq1 6081 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  +o  B )  =  ( (/)  +o  B
) )
6 oveq2 6082 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
75, 6eqeq12d 2450 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  +o  B )  =  ( B  +o  x )  <->  ( (/)  +o  B
)  =  ( B  +o  (/) ) ) )
8 oveq1 6081 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +o  B )  =  ( y  +o  B ) )
9 oveq2 6082 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
108, 9eqeq12d 2450 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  +o  B
)  =  ( B  +o  x )  <->  ( y  +o  B )  =  ( B  +o  y ) ) )
11 oveq1 6081 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  +o  B
)  =  ( suc  y  +o  B ) )
12 oveq2 6082 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1311, 12eqeq12d 2450 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  +o  B )  =  ( B  +o  x )  <-> 
( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
) ) )
14 nna0r 6845 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
+o  B )  =  B )
15 nna0 6840 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1614, 15eqtr4d 2471 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
+o  B )  =  ( B  +o  (/) ) )
17 suceq 4639 . . . . . 6  |-  ( ( y  +o  B )  =  ( B  +o  y )  ->  suc  ( y  +o  B
)  =  suc  ( B  +o  y ) )
18 oveq2 6082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  ( suc  y  +o  x
)  =  ( suc  y  +o  B ) )
19 oveq2 6082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
y  +o  x )  =  ( y  +o  B ) )
20 suceq 4639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o  B )  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  B ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  B ) )
2218, 21eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
)  <->  ( suc  y  +o  B )  =  suc  ( y  +o  B
) ) )
2322imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
) )  <->  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  B )  =  suc  ( y  +o  B ) ) ) )
24 oveq2 6082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( suc  y  +o  x )  =  ( suc  y  +o  (/) ) )
25 oveq2 6082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( y  +o  x )  =  ( y  +o  (/) ) )
26 suceq 4639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o  (/) )  ->  suc  (
y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  (/) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  suc  (
y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  (/) ) )
2824, 27eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( suc  y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  x )  <-> 
( suc  y  +o  (/) )  =  suc  (
y  +o  (/) ) ) )
29 oveq2 6082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( suc  y  +o  x
)  =  ( suc  y  +o  z ) )
30 oveq2 6082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
y  +o  x )  =  ( y  +o  z ) )
31 suceq 4639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o  z )  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  z ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  z ) )
3329, 32eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
)  <->  ( suc  y  +o  z )  =  suc  ( y  +o  z
) ) )
34 oveq2 6082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( suc  y  +o  x )  =  ( suc  y  +o  suc  z ) )
35 oveq2 6082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( y  +o  x
)  =  ( y  +o  suc  z ) )
36 suceq 4639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o 
suc  z )  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  suc  z
) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  z  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  suc  z
) )
3834, 37eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( ( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
)  <->  ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o 
suc  z ) ) )
39 peano2 4858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
40 nna0 6840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  (/) )  =  suc  y )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  (/) )  =  suc  y )
42 nna0 6840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  (/) )  =  y )
43 suceq 4639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  (/) )  =  y  ->  suc  ( y  +o  (/) )  =  suc  y )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  ( y  +o  (/) )  =  suc  y )
4541, 44eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  (/) )  =  suc  ( y  +o  (/) ) )
46 suceq 4639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  y  +o  z
)  =  suc  (
y  +o  z )  ->  suc  ( suc  y  +o  z )  =  suc  suc  ( y  +o  z ) )
47 nnasuc 6842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( suc  y  +o 
suc  z )  =  suc  ( suc  y  +o  z ) )
4839, 47sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( suc  y  +o 
suc  z )  =  suc  ( suc  y  +o  z ) )
49 nnasuc 6842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o  z
) )
50 suceq 4639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  +o  suc  z
)  =  suc  (
y  +o  z )  ->  suc  ( y  +o  suc  z )  =  suc  suc  ( y  +o  z ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  suc  ( y  +o 
suc  z )  =  suc  suc  ( y  +o  z ) )
5248, 51eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o 
suc  z )  <->  suc  ( suc  y  +o  z )  =  suc  suc  (
y  +o  z ) ) )
5346, 52syl5ibr 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( suc  y  +o  z )  =  suc  ( y  +o  z
)  ->  ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o  suc  z ) ) )
5453expcom 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  ( ( suc  y  +o  z )  =  suc  ( y  +o  z
)  ->  ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o  suc  z ) ) ) )
5528, 33, 38, 45, 54finds2 4866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  x ) ) )
5623, 55vtoclga 3010 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  B
)  =  suc  (
y  +o  B ) ) )
5756imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  y  +o  B )  =  suc  ( y  +o  B
) )
58 nnasuc 6842 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
5957, 58eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
)  <->  suc  ( y  +o  B )  =  suc  ( B  +o  y
) ) )
6017, 59syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  B )  =  ( B  +o  y )  ->  ( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
) ) )
6160expcom 425 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( y  +o  B
)  =  ( B  +o  y )  -> 
( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
) ) ) )
627, 10, 13, 16, 61finds2 4866 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( x  +o  B )  =  ( B  +o  x ) ) )
634, 62vtoclga 3010 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  +o  B )  =  ( B  +o  A ) ) )
6463imp 419 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3621   suc csuc 4576   omcom 4838  (class class class)co 6074    +o coa 6714
This theorem is referenced by:  nnaordr  6856  nnmsucr  6861  nnaword2  6866  omopthlem2  6892  omopthi  6893  addcompi  8764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-oadd 6721
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