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Theorem nnacom 6548
Description: Addition of natural numbers is commutative. Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 6-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnacom  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) )

Proof of Theorem nnacom
StepHypRef Expression
1 oveq1 5764 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  +o  B )  =  ( A  +o  B ) )
2 oveq2 5765 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  A
) )
31, 2eqeq12d 2270 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  +o  B
)  =  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  B )  =  ( B  +o  A ) ) )
43imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  om  ->  ( x  +o  B
)  =  ( B  +o  x ) )  <-> 
( B  e.  om  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) ) ) )
5 oveq1 5764 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  +o  B )  =  ( (/)  +o  B
) )
6 oveq2 5765 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
75, 6eqeq12d 2270 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  +o  B )  =  ( B  +o  x )  <->  ( (/)  +o  B
)  =  ( B  +o  (/) ) ) )
8 oveq1 5764 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +o  B )  =  ( y  +o  B ) )
9 oveq2 5765 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
108, 9eqeq12d 2270 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  +o  B
)  =  ( B  +o  x )  <->  ( y  +o  B )  =  ( B  +o  y ) ) )
11 oveq1 5764 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  +o  B
)  =  ( suc  y  +o  B ) )
12 oveq2 5765 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1311, 12eqeq12d 2270 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  +o  B )  =  ( B  +o  x )  <-> 
( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
) ) )
14 nna0r 6540 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
+o  B )  =  B )
15 nna0 6535 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1614, 15eqtr4d 2291 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
+o  B )  =  ( B  +o  (/) ) )
17 suceq 4394 . . . . . 6  |-  ( ( y  +o  B )  =  ( B  +o  y )  ->  suc  ( y  +o  B
)  =  suc  ( B  +o  y ) )
18 oveq2 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  ( suc  y  +o  x
)  =  ( suc  y  +o  B ) )
19 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
y  +o  x )  =  ( y  +o  B ) )
20 suceq 4394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o  B )  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  B ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  B ) )
2218, 21eqeq12d 2270 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
)  <->  ( suc  y  +o  B )  =  suc  ( y  +o  B
) ) )
2322imbi2d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
) )  <->  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  B )  =  suc  ( y  +o  B ) ) ) )
24 oveq2 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( suc  y  +o  x )  =  ( suc  y  +o  (/) ) )
25 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( y  +o  x )  =  ( y  +o  (/) ) )
26 suceq 4394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o  (/) )  ->  suc  (
y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  (/) ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  suc  (
y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  (/) ) )
2824, 27eqeq12d 2270 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( suc  y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  x )  <-> 
( suc  y  +o  (/) )  =  suc  (
y  +o  (/) ) ) )
29 oveq2 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( suc  y  +o  x
)  =  ( suc  y  +o  z ) )
30 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
y  +o  x )  =  ( y  +o  z ) )
31 suceq 4394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o  z )  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  z ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  z ) )
3329, 32eqeq12d 2270 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
)  <->  ( suc  y  +o  z )  =  suc  ( y  +o  z
) ) )
34 oveq2 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( suc  y  +o  x )  =  ( suc  y  +o  suc  z ) )
35 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( y  +o  x
)  =  ( y  +o  suc  z ) )
36 suceq 4394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o 
suc  z )  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  suc  z
) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  z  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  suc  z
) )
3834, 37eqeq12d 2270 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( ( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
)  <->  ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o 
suc  z ) ) )
39 peano2 4613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
40 nna0 6535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  (/) )  =  suc  y )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  (/) )  =  suc  y )
42 nna0 6535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  (/) )  =  y )
43 suceq 4394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  (/) )  =  y  ->  suc  ( y  +o  (/) )  =  suc  y )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  ( y  +o  (/) )  =  suc  y )
4541, 44eqtr4d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  (/) )  =  suc  ( y  +o  (/) ) )
46 suceq 4394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  y  +o  z
)  =  suc  (
y  +o  z )  ->  suc  ( suc  y  +o  z )  =  suc  suc  ( y  +o  z ) )
47 nnasuc 6537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( suc  y  +o 
suc  z )  =  suc  ( suc  y  +o  z ) )
4839, 47sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( suc  y  +o 
suc  z )  =  suc  ( suc  y  +o  z ) )
49 nnasuc 6537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o  z
) )
50 suceq 4394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  +o  suc  z
)  =  suc  (
y  +o  z )  ->  suc  ( y  +o  suc  z )  =  suc  suc  ( y  +o  z ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  suc  ( y  +o 
suc  z )  =  suc  suc  ( y  +o  z ) )
5248, 51eqeq12d 2270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o 
suc  z )  <->  suc  ( suc  y  +o  z )  =  suc  suc  (
y  +o  z ) ) )
5346, 52syl5ibr 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( suc  y  +o  z )  =  suc  ( y  +o  z
)  ->  ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o  suc  z ) ) )
5453expcom 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  ( ( suc  y  +o  z )  =  suc  ( y  +o  z
)  ->  ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o  suc  z ) ) ) )
5528, 33, 38, 45, 54finds2 4621 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  x ) ) )
5623, 55vtoclga 2800 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  B
)  =  suc  (
y  +o  B ) ) )
5756imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  y  +o  B )  =  suc  ( y  +o  B
) )
58 nnasuc 6537 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
5957, 58eqeq12d 2270 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
)  <->  suc  ( y  +o  B )  =  suc  ( B  +o  y
) ) )
6017, 59syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  B )  =  ( B  +o  y )  ->  ( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
) ) )
6160expcom 426 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( y  +o  B
)  =  ( B  +o  y )  -> 
( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
) ) ) )
627, 10, 13, 16, 61finds2 4621 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( x  +o  B )  =  ( B  +o  x ) ) )
634, 62vtoclga 2800 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  +o  B )  =  ( B  +o  A ) ) )
6463imp 420 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3397   suc csuc 4331   omcom 4593  (class class class)co 5757    +o coa 6409
This theorem is referenced by:  nnaordr  6551  nnmsucr  6556  nnaword2  6561  omopthlem2  6587  omopthi  6588  addcompi  8451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-oadd 6416
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