Theorem nnaordex 4255

Description: Equivalence for ordering. Compare Exercise 23 of [Enderton] p. 88.

Assertion

Ref	Expression
nnaordex	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A e. B <-> E.x e. om ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem nnaordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaordex 4198	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A e. B <-> E.x e. On ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
2		nnont 3144	. . . 4 |- (B e. om -> B e. On)
3	1, 2	sylan2 453	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (A e. B <-> E.x e. On ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
4		eleq1 1537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A +o x) = B -> ((A +o x) e. om <-> B e. om))
5	4	bicomd 523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A +o x) = B -> (B e. om <-> (A +o x) e. om))
6		nnarcl 4238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. On /\ x e. On) -> ((A +o x) e. om <-> (A e. om /\ x e. om)))
7	5, 6	sylan9bbr 543	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (A +o x) = B) -> (B e. om <-> (A e. om /\ x e. om)))
8		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ x e. om) -> x e. om)
9	7, 8	syl6bi 214	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (A +o x) = B) -> (B e. om -> x e. om))
10	9	exp31 378	. . . . . . . . . 10 |- (A e. On -> (x e. On -> ((A +o x) = B -> (B e. om -> x e. om))))
11	10	com23 32	. . . . . . . . 9 |- (A e. On -> ((A +o x) = B -> (x e. On -> (B e. om -> x e. om))))
12	11	adantld 392	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> (((/) e. x /\ (A +o x) = B) -> (x e. On -> (B e. om -> x e. om))))
13	12	com24 37	. . . . . . 7 |- (A e. On -> (B e. om -> (x e. On -> (((/) e. x /\ (A +o x) = B) -> x e. om))))
14	13	imp4b 365	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)) -> x e. om))
15		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)) -> ((/) e. x /\ (A +o x) = B))
16	15	a1i 8	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)) -> ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
17	14, 16	jcad 602	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)) -> (x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B))))
18		nnont 3144	. . . . . 6 |- (x e. om -> x e. On)
19	18	anim1i 334	. . . . 5 |- ((x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)) -> (x e. On /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
20	17, 19	impbid1 519	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)) <-> (x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B))))
21	20	rexbidv2 1669	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (E.x e. On ((/) e. x /\ (A +o x) = B) <-> E.x e. om ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
22	3, 21	bitrd 530	. 2 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (A e. B <-> E.x e. om ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
23		nnont 3144	. 2 |- (A e. om -> A e. On)
24	22, 23	sylan 450	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A e. B <-> E.x e. om ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649  (/)c0 2283  Oncon0 2954  omcom 3137  (class class class)co 3969   +o coa 4136

This theorem is referenced by:  ltexpi 5041

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-oadd 4141

Copyright terms: Public domain