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Theorem nnaordi 6502
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordi  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaordi
StepHypRef Expression
1 elnn 4557 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
21ancoms 441 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  om )
32adantll 697 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  om )
4 nnord 4555 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
5 ordsucss 4500 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
64, 5syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  suc 
A  C_  B )
)
76ad2antlr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
8 peano2b 4563 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
9 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  A ) )
109sseq2d 3127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A
) ) )
1110imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  e. 
om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <-> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A ) ) ) )
12 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  y
) )
1312sseq2d 3127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) )
1413imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) ) )
15 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  y ) )
1615sseq2d 3127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y
) ) )
1716imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  e. 
om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <-> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
18 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  B
) )
1918sseq2d 3127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
2019imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) ) )
21 ssid 3118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  A )
2221a1ii 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  suc  A ) ) )
23 sssucid 4362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  +o  y )  C_  suc  ( C  +o  y
)
24 sstr2 3107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  (
( C  +o  y
)  C_  suc  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2523, 24mpi 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  suc  ( C  +o  y ) )
26 nnasuc 6490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2726ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2827sseq2d 3127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y )  <-> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2925, 28syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) )
3029ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3130ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  y )  ->  ( C  e.  om  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3231a2d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  y )  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y ) )  -> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3311, 14, 17, 20, 22, 32findsg 4574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  B )  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  B ) ) )
3433exp31 590 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  ( suc  A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
358, 34syl5bi 210 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
3635com4r 82 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
3736imp31 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
38 nnasuc 6490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  A )  =  suc  ( C  +o  A ) )
3938sseq1d 3126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  <->  suc  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
40 ovex 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +o  A )  e. 
_V
41 sucssel 4378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +o  A )  e.  _V  ->  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
4240, 41ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
4339, 42syl6bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  -> 
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
4443adantlr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
457, 37, 443syld 53 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
4645imp 420 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  e. 
om )  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
4746an32s 782 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B )  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
483, 47mpdan 652 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) )
4948ex 425 . 2  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
5049ancoms 441 1  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   Ord word 4284   suc csuc 4287   omcom 4547  (class class class)co 5710    +o coa 6362
This theorem is referenced by:  nnaord  6503  nnmordi  6515  addclpi  8396  addnidpi  8405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-oadd 6369
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