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Theorem nnaordi 6584
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordi  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaordi
StepHypRef Expression
1 elnn 4638 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
21ancoms 441 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  om )
32adantll 697 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  om )
4 nnord 4636 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
5 ordsucss 4581 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
64, 5syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  suc 
A  C_  B )
)
76ad2antlr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
8 peano2b 4644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
9 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  A ) )
109sseq2d 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A
) ) )
1110imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  e. 
om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <-> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A ) ) ) )
12 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  y
) )
1312sseq2d 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) )
1413imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) ) )
15 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  y ) )
1615sseq2d 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y
) ) )
1716imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  e. 
om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <-> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
18 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  B
) )
1918sseq2d 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
2019imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) ) )
21 ssid 3172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  A )
2221a1ii 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  suc  A ) ) )
23 sssucid 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  +o  y )  C_  suc  ( C  +o  y
)
24 sstr2 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  (
( C  +o  y
)  C_  suc  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2523, 24mpi 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  suc  ( C  +o  y ) )
26 nnasuc 6572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2726ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2827sseq2d 3181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y )  <-> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2925, 28syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) )
3029ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3130ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  y )  ->  ( C  e.  om  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3231a2d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  y )  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y ) )  -> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3311, 14, 17, 20, 22, 32findsg 4655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  B )  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  B ) ) )
3433exp31 590 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  ( suc  A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
358, 34syl5bi 210 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
3635com4r 82 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
3736imp31 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
38 nnasuc 6572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  A )  =  suc  ( C  +o  A ) )
3938sseq1d 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  <->  suc  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
40 ovex 5817 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +o  A )  e. 
_V
41 sucssel 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +o  A )  e.  _V  ->  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
4240, 41ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
4339, 42syl6bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  -> 
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
4443adantlr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
457, 37, 443syld 53 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
4645imp 420 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  e. 
om )  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
4746an32s 782 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B )  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
483, 47mpdan 652 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) )
4948ex 425 . 2  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
5049ancoms 441 1  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   Ord word 4363   suc csuc 4366   omcom 4628  (class class class)co 5792    +o coa 6444
This theorem is referenced by:  nnaord  6585  nnmordi  6597  addclpi  8484  addnidpi  8493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-oadd 6451
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