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Theorem nnaordi 6611
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordi  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem nnaordi
StepHypRef Expression
1 elnn 4665 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
21ancoms 441 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  om )
32adantll 696 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  om )
4 nnord 4663 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
5 ordsucss 4608 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
64, 5syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  suc 
A  C_  B )
)
76ad2antlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
8 peano2b 4671 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
9 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  A ) )
109sseq2d 3207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A
) ) )
1110imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  e. 
om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <-> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A ) ) ) )
12 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  y
) )
1312sseq2d 3207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) )
1413imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) ) )
15 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  y ) )
1615sseq2d 3207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y
) ) )
1716imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  e. 
om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <-> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
18 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  B
) )
1918sseq2d 3207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
2019imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) ) )
21 ssid 3198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  A )
2221a1ii 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  suc  A ) ) )
23 sssucid 4468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  +o  y )  C_  suc  ( C  +o  y
)
24 sstr2 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  (
( C  +o  y
)  C_  suc  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2523, 24mpi 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  suc  ( C  +o  y ) )
26 nnasuc 6599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2726ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2827sseq2d 3207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y )  <-> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2925, 28syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) )
3029ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3130ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  y )  ->  ( C  e.  om  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3231a2d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  y )  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y ) )  -> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3311, 14, 17, 20, 22, 32findsg 4682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  B )  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  B ) ) )
3433exp31 589 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  ( suc  A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
358, 34syl5bi 210 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
3635com4r 82 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
3736imp31 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
38 nnasuc 6599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  A )  =  suc  ( C  +o  A ) )
3938sseq1d 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  <->  suc  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
40 ovex 5844 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +o  A )  e. 
_V
41 sucssel 4484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +o  A )  e.  _V  ->  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
4240, 41ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
4339, 42syl6bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  -> 
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
4443adantlr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
457, 37, 443syld 53 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
4645imp 420 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  e. 
om )  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
4746an32s 781 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B )  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
483, 47mpdan 651 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) )
4948ex 425 . 2  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
5049ancoms 441 1  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   Ord word 4390   suc csuc 4393   omcom 4655  (class class class)co 5819    +o coa 6471
This theorem is referenced by:  nnaord  6612  nnmordi  6624  addclpi  8511  addnidpi  8520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-oadd 6478
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