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Theorem nnaordi 6861
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordi  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 4855 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
21ancoms 440 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  om )
32adantll 695 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  om )
4 nnord 4853 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
5 ordsucss 4798 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  suc 
A  C_  B )
)
76ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
8 peano2b 4861 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
9 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  A ) )
109sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A
) ) )
1110imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  e. 
om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <-> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A ) ) ) )
12 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  y
) )
1312sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) )
1413imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) ) )
15 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  y ) )
1615sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y
) ) )
1716imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  e. 
om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <-> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
18 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  B
) )
1918sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
2019imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) ) )
21 ssid 3367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  A )
2221a1ii 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  suc  A ) ) )
23 sssucid 4658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  +o  y )  C_  suc  ( C  +o  y
)
24 sstr2 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  (
( C  +o  y
)  C_  suc  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2523, 24mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  suc  ( C  +o  y ) )
26 nnasuc 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2726ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2827sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y )  <-> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2925, 28syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) )
3029ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3130ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  y )  ->  ( C  e.  om  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3231a2d 24 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  y )  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y ) )  -> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3311, 14, 17, 20, 22, 32findsg 4872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  B )  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  B ) ) )
3433exp31 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  ( suc  A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
358, 34syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
3635com4r 82 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
3736imp31 422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
38 nnasuc 6849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  A )  =  suc  ( C  +o  A ) )
3938sseq1d 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  <->  suc  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
40 ovex 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +o  A )  e. 
_V
41 sucssel 4674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +o  A )  e.  _V  ->  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
4339, 42syl6bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  -> 
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
4443adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
457, 37, 443syld 53 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
4645imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  e. 
om )  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
4746an32s 780 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B )  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
483, 47mpdan 650 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) )
4948ex 424 . 2  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
5049ancoms 440 1  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   Ord word 4580   suc csuc 4583   omcom 4845  (class class class)co 6081    +o coa 6721
This theorem is referenced by:  nnaord  6862  nnmordi  6874  addclpi  8769  addnidpi  8778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728
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