MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnarcl Unicode version

Theorem nnarcl 6547
Description: Reverse closure law for addition of natural numbers. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 62 and its converse. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnarcl  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  e.  om  <->  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
) )

Proof of Theorem nnarcl
StepHypRef Expression
1 oaword1 6483 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  A  C_  ( A  +o  B ) )
2 eloni 4339 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
3 ordom 4602 . . . . . . 7  |-  Ord  om
4 ordtr2 4373 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  om )  ->  ( ( A  C_  ( A  +o  B )  /\  ( A  +o  B )  e. 
om )  ->  A  e.  om ) )
52, 3, 4sylancl 646 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A  C_  ( A  +o  B )  /\  ( A  +o  B
)  e.  om )  ->  A  e.  om )
)
65exp3a 427 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  C_  ( A  +o  B )  ->  (
( A  +o  B
)  e.  om  ->  A  e.  om ) ) )
76adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  ( A  +o  B )  -> 
( ( A  +o  B )  e.  om  ->  A  e.  om )
) )
81, 7mpd 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  e.  om  ->  A  e.  om )
)
9 oaword2 6484 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  B  C_  ( A  +o  B ) )
109ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  B  C_  ( A  +o  B ) )
11 eloni 4339 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
12 ordtr2 4373 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  Ord  om )  ->  ( ( B  C_  ( A  +o  B )  /\  ( A  +o  B )  e. 
om )  ->  B  e.  om ) )
1311, 3, 12sylancl 646 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  (
( B  C_  ( A  +o  B )  /\  ( A  +o  B
)  e.  om )  ->  B  e.  om )
)
1413exp3a 427 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  ( A  +o  B )  ->  (
( A  +o  B
)  e.  om  ->  B  e.  om ) ) )
1514adantl 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  C_  ( A  +o  B )  -> 
( ( A  +o  B )  e.  om  ->  B  e.  om )
) )
1610, 15mpd 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  e.  om  ->  B  e.  om )
)
178, 16jcad 521 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  e.  om  ->  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
) )
18 nnacl 6542 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
1917, 18impbid1 196 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  e.  om  <->  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1621    C_ wss 3094   Ord word 4328   Oncon0 4329   omcom 4593  (class class class)co 5757    +o coa 6409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-oadd 6416
  Copyright terms: Public domain W3C validator