Theorem nnarcl 4225

Description: Reverse closure law for addition of natural numbers. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 62 and its converse.

Assertion

Ref	Expression
nnarcl	|- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om <-> (A e. om /\ B e. om)))

Proof of Theorem nnarcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaword1 4179	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> A (_ (A +o B))
2		eloni 2954	. . . . . . 7 |- (A e. On -> Ord A)
3		ordom 3137	. . . . . . . 8 |- Ord om
4		ordtr2 2998	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ Ord om) -> ((A (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> A e. om))
5	3, 4	mpan2 695	. . . . . . 7 |- (Ord A -> ((A (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> A e. om))
6	2, 5	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. On -> ((A (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> A e. om))
7	6	exp3a 375	. . . . 5 |- (A e. On -> (A (_ (A +o B) -> ((A +o B) e. om -> A e. om)))
8	7	adantr 389	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ (A +o B) -> ((A +o B) e. om -> A e. om)))
9	1, 8	mpd 26	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om -> A e. om))
10		oaword2 4180	. . . . 5 |- ((B e. On /\ A e. On) -> B (_ (A +o B))
11	10	ancoms 436	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> B (_ (A +o B))
12		eloni 2954	. . . . . . 7 |- (B e. On -> Ord B)
13		ordtr2 2998	. . . . . . . 8 |- ((Ord B /\ Ord om) -> ((B (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> B e. om))
14	3, 13	mpan2 695	. . . . . . 7 |- (Ord B -> ((B (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> B e. om))
15	12, 14	syl 10	. . . . . 6 |- (B e. On -> ((B (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> B e. om))
16	15	exp3a 375	. . . . 5 |- (B e. On -> (B (_ (A +o B) -> ((A +o B) e. om -> B e. om)))
17	16	adantl 388	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (B (_ (A +o B) -> ((A +o B) e. om -> B e. om)))
18	11, 17	mpd 26	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om -> B e. om))
19	9, 18	jcad 599	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om -> (A e. om /\ B e. om)))
20		nnacl 4222	. 2 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) e. om)
21	19, 20	impbid1 516	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om <-> (A e. om /\ B e. om)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 957   (_ wss 2044  Ord word 2943  Oncon0 2944  omcom 3127  (class class class)co 3958   +o coa 4123

This theorem is referenced by:  nnaordex 4242  nnawordex 4243

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-oadd 4128

Copyright terms: Public domain