MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaword Unicode version

Theorem nnaword 6621
Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaword  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaword
StepHypRef Expression
1 nnaord 6613 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  e.  A  <->  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A ) ) )
213com12 1155 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  e.  A  <->  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A ) ) )
32notbid 285 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  <->  -.  ( C  +o  B
)  e.  ( C  +o  A ) ) )
4 nnord 4663 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
5 nnord 4663 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
6 ordtri1 4424 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
74, 5, 6syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
873adant3 975 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
9 nnacl 6605 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  A
)  e.  om )
109ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  A
)  e.  om )
11103adant2 974 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  A )  e. 
om )
12 nnacl 6605 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  +o  B
)  e.  om )
1312ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  B
)  e.  om )
14133adant1 973 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  B )  e. 
om )
15 nnord 4663 . . . 4  |-  ( ( C  +o  A )  e.  om  ->  Ord  ( C  +o  A
) )
16 nnord 4663 . . . 4  |-  ( ( C  +o  B )  e.  om  ->  Ord  ( C  +o  B
) )
17 ordtri1 4424 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( C  +o  A )  /\  Ord  ( C  +o  B
) )  ->  (
( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  <->  -.  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A
) ) )
1815, 16, 17syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( C  +o  A
)  e.  om  /\  ( C  +o  B
)  e.  om )  ->  ( ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B )  <->  -.  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A
) ) )
1911, 14, 18syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  <->  -.  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A
) ) )
203, 8, 193bitr4d 276 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    e. wcel 1685    C_ wss 3153   Ord word 4390   omcom 4655  (class class class)co 5820    +o coa 6472
This theorem is referenced by:  nnacan  6622  nnaword1  6623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-oadd 6479
  Copyright terms: Public domain W3C validator