MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaword1 Unicode version

Theorem nnaword1 6623
Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 9-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaword1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  A  C_  ( A  +o  B ) )

Proof of Theorem nnaword1
StepHypRef Expression
1 nna0 6598 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
21adantr 453 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
3 0ss 3485 . . 3  |-  (/)  C_  B
4 peano1 4675 . . . 4  |-  (/)  e.  om
5 nnaword 6621 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  e. 
om )  ->  ( (/)  C_  B  <->  ( A  +o  (/) )  C_  ( A  +o  B ) ) )
653com13 1158 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( (/)  C_  B  <->  ( A  +o  (/) )  C_  ( A  +o  B
) ) )
74, 6mp3an3 1268 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( (/)  C_  B  <->  ( A  +o  (/) )  C_  ( A  +o  B ) ) )
83, 7mpbii 204 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( A  +o  B
) )
92, 8eqsstr3d 3215 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  A  C_  ( A  +o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    C_ wss 3154   (/)c0 3457   omcom 4656  (class class class)co 5820    +o coa 6472
This theorem is referenced by:  nnaword2  6624  nnmordi  6625  nnawordex  6631  omopthlem2  6650  unfilem1  7117  unfi  7120  ackbij1lem12  7853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-oadd 6479
  Copyright terms: Public domain W3C validator