Theorem nnawordex 4240

Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
nnawordex	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A (_ B <-> E.x e. om (A +o x) = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem nnawordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oawordex 4181	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> E.x e. On (A +o x) = B))
2		nnont 3133	. . . 4 |- (B e. om -> B e. On)
3	1, 2	sylan2 451	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (A (_ B <-> E.x e. On (A +o x) = B))
4		eleq1 1531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A +o x) = B -> ((A +o x) e. om <-> B e. om))
5	4	bicomd 520	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A +o x) = B -> (B e. om <-> (A +o x) e. om))
6		nnarcl 4222	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. On /\ x e. On) -> ((A +o x) e. om <-> (A e. om /\ x e. om)))
7	5, 6	sylan9bbr 540	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (A +o x) = B) -> (B e. om <-> (A e. om /\ x e. om)))
8		pm3.27 323	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ x e. om) -> x e. om)
9	7, 8	syl6bi 214	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (A +o x) = B) -> (B e. om -> x e. om))
10	9	exp31 376	. . . . . . . . 9 |- (A e. On -> (x e. On -> ((A +o x) = B -> (B e. om -> x e. om))))
11	10	com23 32	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> ((A +o x) = B -> (x e. On -> (B e. om -> x e. om))))
12	11	com24 37	. . . . . . 7 |- (A e. On -> (B e. om -> (x e. On -> ((A +o x) = B -> x e. om))))
13	12	imp4b 365	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ (A +o x) = B) -> x e. om))
14		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (A +o x) = B) -> (A +o x) = B)
15	14	a1i 8	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ (A +o x) = B) -> (A +o x) = B))
16	13, 15	jcad 599	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ (A +o x) = B) -> (x e. om /\ (A +o x) = B)))
17		nnont 3133	. . . . . 6 |- (x e. om -> x e. On)
18	17	anim1i 334	. . . . 5 |- ((x e. om /\ (A +o x) = B) -> (x e. On /\ (A +o x) = B))
19	16, 18	impbid1 516	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ (A +o x) = B) <-> (x e. om /\ (A +o x) = B)))
20	19	rexbidv2 1663	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (E.x e. On (A +o x) = B <-> E.x e. om (A +o x) = B))
21	3, 20	bitrd 527	. 2 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (A (_ B <-> E.x e. om (A +o x) = B))
22		nnont 3133	. 2 |- (A e. om -> A e. On)
23	21, 22	sylan 448	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A (_ B <-> E.x e. om (A +o x) = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643   (_ wss 2043  Oncon0 2943  omcom 3126  (class class class)co 3954   +o coa 4120

This theorem is referenced by:  unfilem1 4530

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-oadd 4125

Copyright terms: Public domain