MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncn Structured version   Unicode version

Theorem nncn 10000
Description: A natural number is a complex number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nncn  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nncn
StepHypRef Expression
1 nnsscn 9997 . 2  |-  NN  C_  CC
21sseli 3336 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   CCcc 8980   NNcn 9992
This theorem is referenced by:  nn1m1nn  10012  nn1suc  10013  nnaddcl  10014  nnmulcl  10015  nnsub  10030  nndiv  10032  nndivtr  10033  nnnn0addcl  10243  nn0nnaddcl  10244  elnnnn0  10255  nn0sub  10262  nnnegz  10277  elz2  10290  zaddcl  10309  nnaddm1cl  10323  zdiv  10332  zdivadd  10333  zdivmul  10334  nneo  10345  peano5uzi  10350  uzindOLD  10356  elq  10568  qmulz  10569  qaddcl  10582  qnegcl  10583  qmulcl  10584  qreccl  10586  rpnnen1lem5  10596  fseq1m1p1  11115  quoremz  11228  quoremnn0ALT  11230  intfracq  11232  fldiv  11233  fldiv2  11234  modmulnn  11257  nn0ennn  11310  ser1const  11371  expneg  11381  expm1t  11400  nnsqcl  11443  nnlesq  11476  digit2  11504  digit1  11505  facdiv  11570  facndiv  11571  faclbnd  11573  faclbnd4lem1  11576  faclbnd4lem4  11579  bcn1  11596  bcm1k  11598  bcp1n  11599  bcval5  11601  bcn2m1  11607  isercoll2  12454  divcnv  12625  harmonic  12630  arisum  12631  arisum2  12632  expcnv  12635  geomulcvg  12645  mertenslem2  12654  ef0lem  12673  efexp  12694  ruclem12  12832  sqr2irr  12840  divalgmod  12918  ndvdsadd  12920  modgcd  13028  gcddiv  13041  gcdmultiple  13042  gcdmultiplez  13043  rpmulgcd  13047  rplpwr  13048  sqgcd  13050  prmind2  13082  qredeq  13098  qredeu  13099  isprm6  13101  divnumden  13132  divdenle  13133  nn0gcdsq  13136  pythagtriplem1  13182  pythagtriplem2  13183  pythagtriplem6  13187  pythagtriplem7  13188  pythagtriplem12  13192  pythagtriplem14  13194  pythagtriplem15  13195  pythagtriplem16  13196  pythagtriplem17  13197  pythagtriplem19  13199  pcqcl  13222  pcexp  13225  pcneg  13239  fldivp1  13258  prmpwdvds  13264  infpnlem2  13271  prmreclem1  13276  prmreclem6  13281  4sqlem19  13323  vdwapun  13334  vdwapid1  13335  mulgnegnn  14892  mulgnnass  14910  odmod  15176  cnfldmulg  16725  prmirredlem  16765  znidomb  16834  znrrg  16838  ovolunlem1  19385  uniioombllem3  19469  vitali  19497  mbfi1fseqlem3  19601  dvexp  19831  dvexp3  19854  plyeq0lem  20121  dgrcolem1  20183  aaliou3lem2  20252  aaliou3lem7  20258  pserdv2  20338  abelthlem6  20344  logtayl  20543  logtaylsum  20544  logtayl2  20545  cxpexp  20551  cxproot  20573  root1id  20630  root1eq1  20631  cxpeq  20633  atantayl  20769  atantayl2  20770  birthdaylem2  20783  dfef2  20801  emcllem2  20827  emcllem3  20828  basellem2  20856  basellem3  20857  basellem5  20859  basellem8  20862  mumul  20956  dvdsdivcl  20958  dvdsflip  20959  fsumdvdscom  20962  muinv  20970  chtublem  20987  perfect  21007  pcbcctr  21052  bclbnd  21056  bposlem1  21060  bposlem6  21065  lgssq  21111  lgssq2  21112  2sqlem6  21145  2sqlem10  21150  rplogsumlem1  21170  dchrmusumlema  21179  dchrmusum2  21180  dchrvmasumiflem1  21187  dchrvmaeq0  21190  dchrisum0re  21199  logdivbnd  21242  cusgrasize2inds  21478  gxnn0neg  21843  ipasslem4  22327  ipasslem5  22328  zetacvg  24791  lgam1  24840  gamfac  24843  subfacp1lem6  24863  subfaclim  24866  snmlff  25008  circum  25103  divcnvlin  25204  iprodgam  25311  faclim  25357  faclim2  25359  nndivsub  26199  mblfinlem  26234  ovoliunnfl  26238  voliunnfl  26240  nn0prpwlem  26316  irrapxlem1  26876  pellexlem1  26883  pellqrex  26933  2nn0ind  26999  jm2.17c  27018  acongrep  27036  jm2.18  27050  jm2.20nn  27059  jm2.16nn0  27066  hashgcdlem  27484  proot1ex  27488  clim1fr1  27694  wallispilem4  27784  wallispilem5  27785  wallispi  27786  wallispi2lem1  27787  wallispi2lem2  27788  wallispi2  27789  stirlinglem1  27790  stirlinglem3  27792  stirlinglem4  27793  stirlinglem5  27794  stirlinglem6  27795  stirlinglem7  27796  stirlinglem8  27797  stirlinglem10  27799  stirlinglem11  27800  stirlinglem12  27801  stirlinglem13  27802  stirlinglem14  27803  stirlinglem15  27804  subsubelfzo0  28118  modidmul0  28138  cshwidx  28208  cshwidxm  28212  cshwidxn  28213  2cshwmod  28223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993
  Copyright terms: Public domain W3C validator