MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncnd Structured version   Unicode version

Theorem nncnd 10016
Description: A natural number is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nncnd  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nncnd
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10005 . 2  |-  NN  C_  CC
2 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
31, 2sseldi 3346 1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   CCcc 8988   NNcn 10000
This theorem is referenced by:  facdiv  11578  facndiv  11579  faclbnd  11581  faclbnd5  11589  faclbnd6  11590  facubnd  11591  facavg  11592  bccmpl  11600  bcn0  11601  bcn1  11604  bcm1k  11606  bcp1n  11607  bcp1nk  11608  bcval5  11609  bcpasc  11612  permnn  11617  hashf1  11706  hashfac  11707  wrdeqcats1  11788  binom11  12611  binom1dif  12612  climcndslem2  12630  arisum2  12640  trireciplem  12641  trirecip  12642  geo2sum  12650  geo2lim  12652  eftcl  12676  eftabs  12678  efcllem  12680  ege2le3  12692  efcj  12694  efaddlem  12695  eftlub  12710  eirrlem  12803  sqr2irrlem  12847  oexpneg  12911  bitsp1  12943  bitsfzolem  12946  bitsfzo  12947  bitsmod  12948  bitscmp  12950  bitsinv1lem  12953  bitsinv1  12954  2ebits  12959  bitsinvp1  12961  sadcaddlem  12969  sadadd3  12973  bitsres  12985  bitsuz  12986  bitsshft  12987  mulgcd  13046  rplpwr  13056  sqgcd  13058  prmind2  13090  isprm5  13112  prmdvdsexpr  13116  divgcdodd  13119  qmuldeneqnum  13139  divnumden  13140  qnumgt0  13142  numdensq  13146  hashdvds  13164  phiprmpw  13165  prmdiv  13174  prmdivdiv  13176  pythagtriplem4  13193  pythagtriplem6  13195  pythagtriplem7  13196  pythagtriplem14  13202  pythagtriplem15  13203  pythagtriplem19  13207  pythagtrip  13208  pcprendvds2  13215  pcpre1  13216  pcpremul  13217  pceulem  13219  pcdiv  13226  pcqmul  13227  pcelnn  13243  pcid  13246  pc2dvds  13252  pcaddlem  13257  pcadd  13258  pcfaclem  13267  qexpz  13270  expnprm  13271  prmpwdvds  13272  pockthlem  13273  pockthg  13274  infpnlem1  13278  prmreclem1  13284  prmreclem2  13285  prmreclem3  13286  prmreclem4  13287  prmreclem6  13289  4sqlem6  13311  4sqlem7  13312  4sqlem10  13315  mul4sqlem  13321  4sqlem11  13323  4sqlem12  13324  4sqlem14  13326  4sqlem17  13329  4sqlem18  13330  vdwlem1  13349  vdwlem2  13350  vdwlem3  13351  vdwlem5  13353  vdwlem6  13354  vdwlem8  13356  vdwlem9  13357  vdwlem10  13358  vdwlem12  13360  ramub1lem2  13395  ramcl  13397  gsumccat  14787  mulgnndir  14912  mulgnnass  14918  odf1o2  15207  pgp0  15230  sylow1lem1  15232  odcau  15238  sylow2blem3  15256  sylow3lem3  15263  sylow3lem4  15264  gexexlem  15467  ablfacrp2  15625  ablfac1lem  15626  ablfac1eu  15631  pgpfac1lem3a  15634  pgpfac1lem3  15635  zlpirlem3  16770  znrrg  16846  lebnumlem3  18988  ovollb2lem  19384  ovolunlem1a  19392  ovolunlem1  19393  uniioombllem3  19477  uniioombllem4  19478  dyaddisjlem  19487  mbfi1fseqlem3  19609  mbfi1fseqlem4  19610  dgrcolem1  20191  vieta1lem1  20227  vieta1lem2  20228  elqaalem2  20237  elqaalem3  20238  aalioulem1  20249  aaliou3lem2  20260  aaliou3lem8  20262  aaliou3lem6  20265  aaliou3lem9  20267  taylfvallem1  20273  tayl0  20278  taylply2  20284  taylply  20285  dvtaylp  20286  taylthlem1  20289  taylthlem2  20290  pserdvlem2  20344  advlogexp  20546  cxpmul2  20580  cxpeq  20641  atantayl3  20779  leibpi  20782  log2cnv  20784  log2tlbnd  20785  birthdaylem2  20791  birthdaylem3  20792  amgmlem  20828  amgm  20829  emcllem5  20838  fsumharmonic  20850  wilthlem1  20851  wilthlem2  20852  wilthlem3  20853  basellem1  20863  basellem2  20864  basellem3  20865  basellem4  20866  basellem5  20867  basellem8  20870  vmaprm  20900  sgmval2  20926  0sgm  20927  sgmf  20928  vma1  20949  dvdsdivcl  20966  fsumdvdsdiaglem  20968  dvdsflf1o  20972  muinv  20978  dvdsmulf1o  20979  sgmppw  20981  1sgmprm  20983  1sgm2ppw  20984  sgmmul  20985  chtublem  20995  fsumvma2  20998  chpchtsum  21003  logfaclbnd  21006  logexprlim  21009  mersenne  21011  perfect1  21012  perfectlem1  21013  perfectlem2  21014  perfect  21015  dchrsum2  21052  dchrhash  21055  bcmono  21061  bcp1ctr  21063  bclbnd  21064  bposlem1  21068  bposlem2  21069  bposlem3  21070  bposlem5  21072  bposlem6  21073  lgsval2lem  21090  lgsqrlem2  21126  lgseisenlem1  21133  lgseisenlem4  21136  lgsquadlem1  21138  lgsquadlem2  21139  lgsquadlem3  21140  lgsquad2  21144  m1lgs  21146  2sqlem3  21150  2sqlem4  21151  chebbnd1lem1  21163  chebbnd1  21166  rplogsumlem1  21178  rplogsumlem2  21179  rpvmasumlem  21181  dchrisumlem1  21183  dchrmusum2  21188  dchrvmasumlem1  21189  dchrvmasum2lem  21190  dchrvmasum2if  21191  dchrvmasumlem2  21192  dchrvmasumlem3  21193  dchrvmasumiflem1  21195  dchrisum0flblem1  21202  dchrisum0flblem2  21203  dchrisum0fno1  21205  rpvmasum2  21206  rplogsum  21221  mulogsumlem  21225  mulogsum  21226  mulog2sumlem2  21229  vmalogdivsum2  21232  vmalogdivsum  21233  2vmadivsumlem  21234  logsqvma  21236  selberglem2  21240  selberglem3  21241  selberg  21242  selberg2lem  21244  logdivbnd  21250  selberg3lem1  21251  selberg4lem1  21254  pntrsumo1  21259  pntrsumbnd2  21261  selberg3r  21263  selberg4r  21264  selberg34r  21265  pntsval2  21270  pntrlog2bndlem2  21272  pntrlog2bndlem4  21274  pntrlog2bndlem6  21277  pntpbnd1  21280  pntpbnd2  21281  pntlemg  21292  pntlemn  21294  pntlemf  21299  pnt  21308  padicabvf  21325  ostth2lem2  21328  ostth3  21332  eupares  21697  numdenneg  24160  ltesubnnd  24162  qqhnm  24374  ballotlemfc0  24750  ballotlemfcc  24751  zetacvg  24799  dmgmdivn0  24812  lgamgulmlem3  24815  lgamgulmlem4  24816  lgamgulmlem5  24817  lgamgulmlem6  24818  lgamgulm2  24820  lgamcvg2  24839  gamcvg  24840  gamcvg2lem  24843  facgam  24850  subfacp1lem1  24865  subfacp1lem5  24870  subfacval2  24873  subfaclim  24874  cvmliftlem2  24973  cvmliftlem7  24978  cvmliftlem10  24981  cvmliftlem11  24982  cvmliftlem13  24983  fprodfac  25296  iprodgam  25319  risefacfac  25351  fallfacfwd  25352  fallfacval4  25359  bcfallfac  25360  fallfacfac  25361  faclimlem1  25362  faclimlem2  25363  faclim2  25367  bpolycl  26098  bpolysum  26099  bpolydiflem  26100  fsumkthpow  26102  nn0prpwlem  26325  nn0prpw  26326  irrapxlem4  26888  irrapxlem5  26889  pellexlem2  26893  pellexlem6  26897  pell1234qrne0  26916  pell1234qrreccl  26917  pell1234qrmulcl  26918  pell1234qrdich  26924  pell14qrdich  26932  pell1qrge1  26933  pell1qr1  26934  pell14qrgapw  26939  rmxyneg  26983  rmxm1  26997  rmxluc  26999  rmxdbl  27002  jm2.19lem1  27060  jm2.27c  27078  psgnunilem5  27394  phisum  27495  clim1fr1  27703  dvsinexp  27716  itgsinexplem1  27724  itgsinexp  27725  stoweidlem1  27726  stoweidlem11  27736  stoweidlem25  27750  stoweidlem26  27751  stoweidlem34  27759  stoweidlem37  27762  stoweidlem38  27763  stoweidlem42  27767  wallispi2lem1  27796  wallispi2  27798  stirlinglem4  27802  stirlinglem5  27803  stirlinglem10  27808  stirlinglem15  27813  modprm0  28228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001
  Copyright terms: Public domain W3C validator