MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndi Unicode version

Theorem nndi 6589
Description: Distributive law for natural numbers. Theorem 4K(3) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nndi  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )

Proof of Theorem nndi
StepHypRef Expression
1 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
21oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  C ) ) )
3 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  C
) )
43oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) )
52, 4eqeq12d 2272 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  C ) ) ) )
65imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) ) ) )
7 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
87oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) ) )
9 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
109oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) )
118, 10eqeq12d 2272 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) ) )
12 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
1312oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  y ) ) )
14 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
1514oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) )
1613, 15eqeq12d 2272 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )
17 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1817oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  suc  y
) ) )
19 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
2019oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) )
2118, 20eqeq12d 2272 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  <-> 
( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) )
22 nna0 6570 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2322adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2423oveq2d 5808 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  .o  B
) )
25 nnmcl 6578 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
26 nna0 6570 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .o  B )  e.  om  ->  (
( A  .o  B
)  +o  (/) )  =  ( A  .o  B
) )
2725, 26syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  +o  (/) )  =  ( A  .o  B
) )
2824, 27eqtr4d 2293 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) )
29 nnm0 6571 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
3029adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
3130oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) )
3228, 31eqtr4d 2293 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) )
33 oveq1 5799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  +o  A
) )
34 nnasuc 6572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
35343adant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y ) )
3635oveq2d 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  .o  suc  ( B  +o  y
) ) )
37 nnacl 6577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  e.  om )
38 nnmsuc 6573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  +o  y
)  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A ) )
3937, 38sylan2 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y
) )  +o  A
) )
40393impb 1152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A ) )
4136, 40eqtrd 2290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y
) )  +o  A
) )
42 nnmsuc 6573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
43423adant2 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y )  +o  A ) )
4443oveq2d 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
45 nnmcl 6578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  y
)  e.  om )
46 nnaass 6588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  om  /\  ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  +o  A
)  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
4725, 46syl3an1 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  +o  A
)  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
4845, 47syl3an2 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
49483exp 1155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  e. 
om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  e.  om  ->  ( (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) )
5049exp4b 593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) ) )
5150pm2.43a 47 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) )
5251com4r 82 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) )
5352pm2.43i 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) )
54533imp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) )
5544, 54eqtr4d 2293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) )  =  ( ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A ) )
5641, 55eqeq12d 2272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) )  <->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A ) ) )
5733, 56syl5ibr 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) )
58573exp 1155 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5958com3r 75 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
6059imp3a 422 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) )
6111, 16, 21, 32, 60finds2 4656 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) ) ) )
626, 61vtoclga 2824 . . 3  |-  ( C  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) ) )
6362exp3acom3r 1366 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) ) ) )
64633imp 1150 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3430   suc csuc 4366   omcom 4628  (class class class)co 5792    +o coa 6444    .o comu 6445
This theorem is referenced by:  nnmass  6590  distrpi  8490
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-oadd 6451  df-omul 6452
  Copyright terms: Public domain W3C validator