MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivre Unicode version

Theorem nndivre 9868
Description: The quotient of a real and a natural number is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivre
StepHypRef Expression
1 nnre 9840 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 nnne0 9865 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
31, 2jca 518 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
4 redivcl 9566 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
543expb 1152 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
63, 5sylan2 460 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1710    =/= wne 2521  (class class class)co 5942   RRcr 8823   0cc0 8824    / cdiv 9510   NNcn 9833
This theorem is referenced by:  nnrecre  9869  nndivred  9881  fldiv2  11054  zmodcl  11078  iexpcyc  11297  sqrlem7  11824  expcnv  12413  ef01bndlem  12555  sin01bnd  12556  cos01bnd  12557  rpnnen2lem2  12585  rpnnen2lem3  12586  rpnnen2lem4  12587  rpnnen2lem9  12592  fldivp1  13036  ovoliunlem1  18959  dyadf  19044  dyadovol  19046  mbfi1fseqlem3  19170  mbfi1fseqlem4  19171  dveflem  19424  plyeq0lem  19690  tangtx  19974  tan4thpi  19983  root1id  20199  root1eq1  20200  root1cj  20201  cxpeq  20202  1cubrlem  20242  atan1  20329  log2tlbnd  20346  log2ublem1  20347  log2ublem2  20348  log2ub  20350  birthdaylem3  20353  birthday  20354  basellem5  20428  basellem8  20431  ppiub  20549  logfac2  20562  dchrptlem1  20609  dchrptlem2  20610  bposlem3  20631  bposlem4  20632  bposlem5  20633  bposlem6  20634  bposlem9  20637  vmadivsum  20737  dchrisum0lem1a  20741  dchrmusum2  20749  dchrvmasum2if  20752  dchrvmasumlem2  20753  dchrvmasumiflem1  20756  dchrvmasumiflem2  20757  dchrisum0re  20768  dchrisum0lem1b  20770  dchrisum0lem1  20771  dchrvmasumlem  20778  rplogsum  20782  mudivsum  20785  selberg2  20806  chpdifbndlem1  20808  selberg3lem1  20812  selbergr  20823  pntlemb  20852  pntlemg  20853  pntlemf  20860  snmlff  24316  sinccvglem  24409  circum  24411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834
  Copyright terms: Public domain W3C validator