MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Unicode version

Theorem nndivred 9980
Description: A natural number is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nndivred.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nndivred  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nndivred.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nndivre 9967 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717  (class class class)co 6020   RRcr 8922    / cdiv 9609   NNcn 9932
This theorem is referenced by:  bcp1nk  11535  reeftcl  12604  efcllem  12607  eftlub  12637  eirrlem  12730  dvdsmod  12833  bitsfzo  12874  bitsmod  12875  bitscmp  12877  bitsuz  12913  bezoutlem3  12967  hashdvds  13091  prmdiv  13101  odzdvds  13108  pcfaclem  13194  pcfac  13195  pcbc  13196  pockthlem  13200  prmreclem4  13214  odmod  15111  zlpirlem3  16693  prmirredlem  16696  lebnumii  18862  ovoliunlem1  19265  uniioombllem4  19345  dyadss  19353  dyaddisjlem  19354  dyadmaxlem  19356  opnmbllem  19360  mbfi1fseqlem1  19474  mbfi1fseqlem3  19476  mbfi1fseqlem4  19477  mbfi1fseqlem5  19478  mbfi1fseqlem6  19479  aaliou3lem9  20134  taylthlem2  20157  advlogexp  20413  leibpilem2  20648  leibpi  20649  leibpisum  20650  birthdaylem3  20659  amgmlem  20695  fsumharmonic  20717  basellem4  20733  dvdsflf1o  20839  fsumfldivdiaglem  20841  logexprlim  20876  pcbcctr  20927  bcp1ctr  20930  bposlem2  20936  bposlem6  20940  lgseisenlem4  21003  lgseisen  21004  lgsquadlem1  21005  lgsquadlem2  21006  chebbnd1lem3  21032  chtppilimlem1  21034  vmadivsum  21043  vmadivsumb  21044  rplogsumlem1  21045  rplogsumlem2  21046  rpvmasumlem  21048  dchrisumlem1  21050  dchrvmasumlem1  21056  dchrvmasum2lem  21057  dchrvmasum2if  21058  dchrvmasumlem2  21059  dchrvmasumlem3  21060  dchrvmasumiflem1  21062  dchrvmasumiflem2  21063  rpvmasum2  21073  dchrisum0lem1  21077  dchrmusumlem  21083  dirith2  21089  mudivsum  21091  mulogsumlem  21092  mulogsum  21093  mulog2sumlem1  21095  mulog2sumlem2  21096  mulog2sumlem3  21097  vmalogdivsum2  21099  vmalogdivsum  21100  2vmadivsumlem  21101  selberglem1  21106  selberglem2  21107  selbergb  21110  selberg2b  21113  logdivbnd  21117  selberg3lem1  21118  selberg3  21120  selberg4lem1  21121  selberg4  21122  pntrsumo1  21126  pntrsumbnd  21127  pntrsumbnd2  21128  selbergr  21129  selberg3r  21130  selberg4r  21131  pntsf  21134  pntsval2  21137  pntrlog2bndlem2  21139  pntrlog2bndlem4  21141  pntrlog2bndlem5  21142  pntrlog2bndlem6  21144  pntpbnd1  21147  pntpbnd2  21148  pntibndlem2  21152  pntlemn  21161  pntlemj  21164  pntlemk  21167  pntlemo  21168  ostth2lem2  21195  lgamgulmlem2  24593  lgamgulmlem3  24594  lgamgulmlem4  24595  lgamgulmlem6  24597  lgamcvg2  24618  regamcl  24624  subfacval2  24652  subfaclim  24653  cvmliftlem6  24756  cvmliftlem7  24757  cvmliftlem8  24758  cvmliftlem9  24759  cvmliftlem10  24760  faclimlem1  25120  faclimlem2  25121  faclimlem3  25122  faclim  25123  iprodfac  25124  faclim2  25125  pellexlem2  26584  stoweidlem11  27428  stoweidlem26  27443  stoweidlem42  27459  stoweidlem59  27476
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933
  Copyright terms: Public domain W3C validator