MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Unicode version

Theorem nndivred 9796
Description: A natural number is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nndivred.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nndivred  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nndivred.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nndivre 9783 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1686  (class class class)co 5860   RRcr 8738    / cdiv 9425   NNcn 9748
This theorem is referenced by:  bcp1nk  11331  reeftcl  12358  efcllem  12361  eftlub  12391  eirrlem  12484  dvdsmod  12587  bitsfzo  12628  bitsmod  12629  bitscmp  12631  bitsuz  12667  bezoutlem3  12721  hashdvds  12845  prmdiv  12855  odzdvds  12862  pcfaclem  12948  pcfac  12949  pcbc  12950  pockthlem  12954  prmreclem4  12968  odmod  14863  zlpirlem3  16445  prmirredlem  16448  lebnumii  18466  ovoliunlem1  18863  uniioombllem4  18943  dyadss  18951  dyaddisjlem  18952  dyadmaxlem  18954  opnmbllem  18958  mbfi1fseqlem1  19072  mbfi1fseqlem3  19074  mbfi1fseqlem4  19075  mbfi1fseqlem5  19076  mbfi1fseqlem6  19077  aaliou3lem9  19732  taylthlem2  19755  advlogexp  20004  leibpilem2  20239  leibpi  20240  leibpisum  20241  birthdaylem3  20250  amgmlem  20286  fsumharmonic  20307  basellem4  20323  dvdsflf1o  20429  fsumfldivdiaglem  20431  logexprlim  20466  pcbcctr  20517  bcp1ctr  20520  bposlem2  20526  bposlem6  20530  lgseisenlem4  20593  lgseisen  20594  lgsquadlem1  20595  lgsquadlem2  20596  chebbnd1lem3  20622  chtppilimlem1  20624  vmadivsum  20633  vmadivsumb  20634  rplogsumlem1  20635  rplogsumlem2  20636  rpvmasumlem  20638  dchrisumlem1  20640  dchrvmasumlem1  20646  dchrvmasum2lem  20647  dchrvmasum2if  20648  dchrvmasumlem2  20649  dchrvmasumlem3  20650  dchrvmasumiflem1  20652  dchrvmasumiflem2  20653  rpvmasum2  20663  dchrisum0lem1  20667  dchrmusumlem  20673  dirith2  20679  mudivsum  20681  mulogsumlem  20682  mulogsum  20683  mulog2sumlem1  20685  mulog2sumlem2  20686  mulog2sumlem3  20687  vmalogdivsum2  20689  vmalogdivsum  20690  2vmadivsumlem  20691  selberglem1  20696  selberglem2  20697  selbergb  20700  selberg2b  20703  logdivbnd  20707  selberg3lem1  20708  selberg3  20710  selberg4lem1  20711  selberg4  20712  pntrsumo1  20716  pntrsumbnd  20717  pntrsumbnd2  20718  selbergr  20719  selberg3r  20720  selberg4r  20721  pntsf  20724  pntsval2  20727  pntrlog2bndlem2  20729  pntrlog2bndlem4  20731  pntrlog2bndlem5  20732  pntrlog2bndlem6  20734  pntpbnd1  20737  pntpbnd2  20738  pntibndlem2  20742  pntlemn  20751  pntlemj  20754  pntlemk  20757  pntlemo  20758  ostth2lem2  20785  subfacval2  23720  subfaclim  23721  cvmliftlem6  23823  cvmliftlem7  23824  cvmliftlem8  23825  cvmliftlem9  23826  cvmliftlem10  23827  cntrset  25613  pellexlem2  26926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749
  Copyright terms: Public domain W3C validator