HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem nndivtrt 5962
Description: Transitive property of divisibility: if A divides B and B divides C, then A divides C.
Assertion
Ref Expression
nndivtrt |- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) /\ ((B / A) e. NN /\ (C / B) e. NN)) -> (C / A) e. NN)
Proof of Theorem nndivtrt
StepHypRef Expression
1 divmul24t 5785 . . . . . 6 |- ((((B e. CC /\ A e. CC) /\ (C e. CC /\ B e. CC)) /\ (A =/= 0 /\ B =/= 0)) -> ((B / A) x. (C / B)) = ((B / B) x. (C / A)))
2 nncnt 5932 . . . . . . . . . 10 |- (B e. NN -> B e. CC)
3 nncnt 5932 . . . . . . . . . 10 |- (A e. NN -> A e. CC)
42, 3anim12i 333 . . . . . . . . 9 |- ((B e. NN /\ A e. NN) -> (B e. CC /\ A e. CC))
54ancoms 438 . . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (B e. CC /\ A e. CC))
653adant3 801 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (B e. CC /\ A e. CC))
72anim2i 335 . . . . . . . . 9 |- ((C e. CC /\ B e. NN) -> (C e. CC /\ B e. CC))
87ancoms 438 . . . . . . . 8 |- ((B e. NN /\ C e. CC) -> (C e. CC /\ B e. CC))
983adant1 799 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (C e. CC /\ B e. CC))
106, 9jca 288 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> ((B e. CC /\ A e. CC) /\ (C e. CC /\ B e. CC)))
11 nnne0t 5951 . . . . . . . 8 |- (A e. NN -> A =/= 0)
12 nnne0t 5951 . . . . . . . 8 |- (B e. NN -> B =/= 0)
1311, 12anim12i 333 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A =/= 0 /\ B =/= 0))
14133adant3 801 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (A =/= 0 /\ B =/= 0))
151, 10, 14sylanc 473 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> ((B / A) x. (C / B)) = ((B / B) x. (C / A)))
16 dividt 5767 . . . . . . . 8 |- ((B e. CC /\ B =/= 0) -> (B / B) = 1)
1716, 2, 12sylanc 473 . . . . . . 7 |- (B e. NN -> (B / B) = 1)
1817opreq1d 3981 . . . . . 6 |- (B e. NN -> ((B / B) x. (C / A)) = (1 x. (C / A)))
19183ad2ant2 803 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> ((B / B) x. (C / A)) = (1 x. (C / A)))
20 divclt 5724 . . . . . . . . . 10 |- ((C e. CC /\ A e. CC /\ A =/= 0) -> (C / A) e. CC)
21203expb 836 . . . . . . . . 9 |- ((C e. CC /\ (A e. CC /\ A =/= 0)) -> (C / A) e. CC)
223, 11jca 288 . . . . . . . . 9 |- (A e. NN -> (A e. CC /\ A =/= 0))
2321, 22sylan2 453 . . . . . . . 8 |- ((C e. CC /\ A e. NN) -> (C / A) e. CC)
2423ancoms 438 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ C e. CC) -> (C / A) e. CC)
25 mulid2t 5429 . . . . . . 7 |- ((C / A) e. CC -> (1 x. (C / A)) = (C / A))
2624, 25syl 10 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ C e. CC) -> (1 x. (C / A)) = (C / A))
27263adant2 800 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (1 x. (C / A)) = (C / A))
2815, 19, 273eqtrd 1514 . . . 4 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> ((B / A) x. (C / B)) = (C / A))
2928eleq1d 1543 . . 3 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (((B / A) x. (C / B)) e. NN <-> (C / A) e. NN))
30 nnmulclt 5943 . . 3 |- (((B / A) e. NN /\ (C / B) e. NN) -> ((B / A) x. (C / B)) e. NN)
3129, 30syl5bi 208 . 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (((B / A) e. NN /\ (C / B) e. NN) -> (C / A) e. NN))
3231imp 350 1 |- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) /\ ((B / A) e. NN /\ (C / B) e. NN)) -> (C / A) e. NN)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   x. cmul 5251   / cdiv 5306  NNcn 5308
This theorem is referenced by:  permnnt 6973  infpnlem1 7507
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927
Copyright terms: Public domain