MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndomo Unicode version

Theorem nndomo 7050
Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nndomo  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  <->  A  C_  B
) )

Proof of Theorem nndomo
StepHypRef Expression
1 php2 7042 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
21ex 425 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  C.  A  ->  B  ~<  A ) )
3 domnsym 6983 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
42, 3nsyli 135 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  C.  A ) )
54adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  C.  A ) )
6 nnord 4664 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
7 nnord 4664 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
8 ordtri1 4425 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
9 ordelpss 4420 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  Ord  A )  ->  ( B  e.  A  <->  B  C.  A ) )
109ancoms 441 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( B  e.  A  <->  B  C.  A ) )
1110notbid 287 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( -.  B  e.  A  <->  -.  B  C.  A ) )
128, 11bitrd 246 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  C.  A ) )
136, 7, 12syl2an 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  C.  A ) )
145, 13sylibrd 227 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  C_  B ) )
15 ssdomg 6903 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
1615adantl 454 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
1714, 16impbid 185 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  <->  A  C_  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1685    C_ wss 3154    C. wpss 3155   class class class wbr 4025   Ord word 4391   omcom 4656    ~<_ cdom 6857    ~< csdm 6858
This theorem is referenced by:  nnsdomo  7051  omsucdomOLD  7052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862
  Copyright terms: Public domain W3C validator