MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndomo Unicode version

Theorem nndomo 7291
Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nndomo  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  <->  A  C_  B
) )

Proof of Theorem nndomo
StepHypRef Expression
1 php2 7283 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
21ex 424 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  C.  A  ->  B  ~<  A ) )
3 domnsym 7224 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
42, 3nsyli 135 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  C.  A ) )
54adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  C.  A ) )
6 nnord 4844 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
7 nnord 4844 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
8 ordtri1 4606 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
9 ordelpss 4601 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  Ord  A )  ->  ( B  e.  A  <->  B  C.  A ) )
109ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( B  e.  A  <->  B  C.  A ) )
1110notbid 286 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( -.  B  e.  A  <->  -.  B  C.  A ) )
128, 11bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  C.  A ) )
136, 7, 12syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  C.  A ) )
145, 13sylibrd 226 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  C_  B ) )
15 ssdomg 7144 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
1615adantl 453 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
1714, 16impbid 184 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  <->  A  C_  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3312    C. wpss 3313   class class class wbr 4204   Ord word 4572   omcom 4836    ~<_ cdom 7098    ~< csdm 7099
This theorem is referenced by:  nnsdomo  7292  omsucdomOLD  7293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103
  Copyright terms: Public domain W3C validator