Theorem nndomo 4506

Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146.

Assertion

Ref	Expression
nndomo	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ~<_ B <-> A (_ B))

Proof of Theorem nndomo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php2 4500	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)
2	1	ex 373	. . . . 5 |- (A e. om -> (B (. A -> B ~< A))
3		domnsym 4449	. . . . 5 |- (A ~<_ B -> -. B ~< A)
4	2, 3	nsyli 121	. . . 4 |- (A e. om -> (A ~<_ B -> -. B (. A))
5	4	adantr 389	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ~<_ B -> -. B (. A))
6		ordtri1 2975	. . . . 5 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> -. B e. A))
7		ordelpss 2970	. . . . . . 7 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (B e. A <-> B (. A))
8	7	ancoms 436	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (B e. A <-> B (. A))
9	8	negbid 610	. . . . 5 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (-. B e. A <-> -. B (. A))
10	6, 9	bitrd 527	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> -. B (. A))
11		nnord 3135	. . . 4 |- (A e. om -> Ord A)
12		nnord 3135	. . . 4 |- (B e. om -> Ord B)
13	10, 11, 12	syl2an 454	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A (_ B <-> -. B (. A))
14	5, 13	sylibrd 204	. 2 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ~<_ B -> A (_ B))
15		ssdomg 4395	. . 3 |- (A e. om -> (A (_ B -> A ~<_ B))
16	15	adantr 389	. 2 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A (_ B -> A ~<_ B))
17	14, 16	impbid 515	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ~<_ B <-> A (_ B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 956   (_ wss 2043   (. wpss 2044   class class class wbr 2614  Ord word 2942  omcom 3126   ~<_ cdom 4355   ~< csdm 4356

This theorem is referenced by:  nnsdomo 4507  omsucdom 4508

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359

Copyright terms: Public domain