Theorem nnecl 4371

Description: Closure of exponentiation of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
nnecl	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ^o B) e. om)

Proof of Theorem nnecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4027	. . . . 5 |- (x = (/) -> (A ^o x) = (A ^o (/)))
2	1	eleq1d 1583	. . . 4 |- (x = (/) -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o (/)) e. om))
3	2	imbi2d 615	. . 3 |- (x = (/) -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o (/)) e. om)))
4		opreq2 4027	. . . . 5 |- (x = y -> (A ^o x) = (A ^o y))
5	4	eleq1d 1583	. . . 4 |- (x = y -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o y) e. om))
6	5	imbi2d 615	. . 3 |- (x = y -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o y) e. om)))
7		opreq2 4027	. . . . 5 |- (x = suc y -> (A ^o x) = (A ^o suc y))
8	7	eleq1d 1583	. . . 4 |- (x = suc y -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o suc y) e. om))
9	8	imbi2d 615	. . 3 |- (x = suc y -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
10		opreq2 4027	. . . . 5 |- (x = B -> (A ^o x) = (A ^o B))
11	10	eleq1d 1583	. . . 4 |- (x = B -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o B) e. om))
12	11	imbi2d 615	. . 3 |- (x = B -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o B) e. om)))
13		nnon 3225	. . . . 5 |- (A e. om -> A e. On)
14		oe0 4297	. . . . 5 |- (A e. On -> (A ^o (/)) = 1o)
15	13, 14	syl 10	. . . 4 |- (A e. om -> (A ^o (/)) = 1o)
16		df-1o 4269	. . . . 5 |- 1o = suc (/)
17		peano1 3237	. . . . . 6 |- (/) e. om
18		peano2 3238	. . . . . 6 |- ((/) e. om -> suc (/) e. om)
19	17, 18	ax-mp 7	. . . . 5 |- suc (/) e. om
20	16, 19	eqeltri 1587	. . . 4 |- 1o e. om
21	15, 20	syl6eqel 1599	. . 3 |- (A e. om -> (A ^o (/)) e. om)
22		oesuc 4302	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. On /\ y e. On) -> (A ^o suc y) = ((A ^o y) .o A))
23		nnon 3225	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om -> y e. On)
24	22, 13, 23	syl2an 456	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A ^o suc y) = ((A ^o y) .o A))
25	24	eleq1d 1583	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A ^o suc y) e. om <-> ((A ^o y) .o A) e. om))
26		nnmcl 4370	. . . . . . . . 9 |- (((A ^o y) e. om /\ A e. om) -> ((A ^o y) .o A) e. om)
27	25, 26	syl5bir 208	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (((A ^o y) e. om /\ A e. om) -> (A ^o suc y) e. om))
28	27	exp4b 379	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (y e. om -> ((A ^o y) e. om -> (A e. om -> (A ^o suc y) e. om))))
29	28	com24 37	. . . . . 6 |- (A e. om -> (A e. om -> ((A ^o y) e. om -> (y e. om -> (A ^o suc y) e. om))))
30	29	pm2.43i 64	. . . . 5 |- (A e. om -> ((A ^o y) e. om -> (y e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
31	30	com3r 35	. . . 4 |- (y e. om -> (A e. om -> ((A ^o y) e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
32	31	a2d 13	. . 3 |- (y e. om -> ((A e. om -> (A ^o y) e. om) -> (A e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
33	3, 6, 9, 12, 21, 32	finds 3244	. 2 |- (B e. om -> (A e. om -> (A ^o B) e. om))
34	33	impcom 349	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ^o B) e. om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  (/)c0 2332  Oncon0 2975  suc csuc 2977  omcom 3218  (class class class)co 4021  1oc1o 4264   .o comu 4267   ^o coe 4268

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-oexp 4273

Copyright terms: Public domain