Theorem nneob 4395

Description: A natural number is even iff its successor is odd.

Assertion

Ref	Expression
nneob	|- (A e. om -> (E.x e. om A = (2o .o x) <-> -. E.x e. om suc A = (2o .o x)))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem nneob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4027	. . . . 5 |- (x = y -> (2o .o x) = (2o .o y))
2	1	eqeq2d 1529	. . . 4 |- (x = y -> (A = (2o .o x) <-> A = (2o .o y)))
3	2	cbvrexv 1847	. . 3 |- (E.x e. om A = (2o .o x) <-> E.y e. om A = (2o .o y))
4		oneo 4348	. . . . . . . 8 |- ((y e. On /\ x e. On /\ A = (2o .o y)) -> -. suc A = (2o .o x))
5		nnon 3225	. . . . . . . 8 |- (y e. om -> y e. On)
6		nnon 3225	. . . . . . . 8 |- (x e. om -> x e. On)
7		id 59	. . . . . . . 8 |- (A = (2o .o y) -> A = (2o .o y))
8	4, 5, 6, 7	syl3an 874	. . . . . . 7 |- ((y e. om /\ x e. om /\ A = (2o .o y)) -> -. suc A = (2o .o x))
9	8	3com23 845	. . . . . 6 |- ((y e. om /\ A = (2o .o y) /\ x e. om) -> -. suc A = (2o .o x))
10	9	3expa 839	. . . . 5 |- (((y e. om /\ A = (2o .o y)) /\ x e. om) -> -. suc A = (2o .o x))
11	10	nrexdv 1776	. . . 4 |- ((y e. om /\ A = (2o .o y)) -> -. E.x e. om suc A = (2o .o x))
12	11	r19.23aiva 1790	. . 3 |- (E.y e. om A = (2o .o y) -> -. E.x e. om suc A = (2o .o x))
13	3, 12	sylbi 197	. 2 |- (E.x e. om A = (2o .o x) -> -. E.x e. om suc A = (2o .o x))
14		suceq 3038	. . . . . . 7 |- (y = (/) -> suc y = suc (/))
15	14	eqeq1d 1526	. . . . . 6 |- (y = (/) -> (suc y = (2o .o x) <-> suc (/) = (2o .o x)))
16	15	rexbidv 1710	. . . . 5 |- (y = (/) -> (E.x e. om suc y = (2o .o x) <-> E.x e. om suc (/) = (2o .o x)))
17	16	notbid 614	. . . 4 |- (y = (/) -> (-. E.x e. om suc y = (2o .o x) <-> -. E.x e. om suc (/) = (2o .o x)))
18		eqeq1 1524	. . . . 5 |- (y = (/) -> (y = (2o .o x) <-> (/) = (2o .o x)))
19	18	rexbidv 1710	. . . 4 |- (y = (/) -> (E.x e. om y = (2o .o x) <-> E.x e. om (/) = (2o .o x)))
20	17, 19	imbi12d 629	. . 3 |- (y = (/) -> ((-. E.x e. om suc y = (2o .o x) -> E.x e. om y = (2o .o x)) <-> (-. E.x e. om suc (/) = (2o .o x) -> E.x e. om (/) = (2o .o x))))
21		suceq 3038	. . . . . . 7 |- (y = z -> suc y = suc z)
22	21	eqeq1d 1526	. . . . . 6 |- (y = z -> (suc y = (2o .o x) <-> suc z = (2o .o x)))
23	22	rexbidv 1710	. . . . 5 |- (y = z -> (E.x e. om suc y = (2o .o x) <-> E.x e. om suc z = (2o .o x)))
24	23	notbid 614	. . . 4 |- (y = z -> (-. E.x e. om suc y = (2o .o x) <-> -. E.x e. om suc z = (2o .o x)))
25		eqeq1 1524	. . . . 5 |- (y = z -> (y = (2o .o x) <-> z = (2o .o x)))
26	25	rexbidv 1710	. . . 4 |- (y = z -> (E.x e. om y = (2o .o x) <-> E.x e. om z = (2o .o x)))
27	24, 26	imbi12d 629	. . 3 |- (y = z -> ((-. E.x e. om suc y = (2o .o x) -> E.x e. om y = (2o .o x)) <-> (-. E.x e. om suc z = (2o .o x) -> E.x e. om z = (2o .o x))))
28		suceq 3038	. . . . . . 7 |- (y = suc z -> suc y = suc suc z)
29	28	eqeq1d 1526	. . . . . 6 |- (y = suc z -> (suc y = (2o .o x) <-> suc suc z = (2o .o x)))
30	29	rexbidv 1710	. . . . 5 |- (y = suc z -> (E.x e. om suc y = (2o .o x) <-> E.x e. om suc suc z = (2o .o x)))
31	30	notbid 614	. . . 4 |- (y = suc z -> (-. E.x e. om suc y = (2o .o x) <-> -. E.x e. om suc suc z = (2o .o x)))
32		eqeq1 1524	. . . . 5 |- (y = suc z -> (y = (2o .o x) <-> suc z = (2o .o x)))
33	32	rexbidv 1710	. . . 4 |- (y = suc z -> (E.x e. om y = (2o .o x) <-> E.x e. om suc z = (2o .o x)))
34	31, 33	imbi12d 629	. . 3 |- (y = suc z -> ((-. E.x e. om suc y = (2o .o x) -> E.x e. om y = (2o .o x)) <-> (-. E.x e. om suc suc z = (2o .o x) -> E.x e. om suc z = (2o .o x))))
35		suceq 3038	. . . . . . 7 |- (y = A -> suc y = suc A)
36	35	eqeq1d 1526	. . . . . 6 |- (y = A -> (suc y = (2o .o x) <-> suc A = (2o .o x)))
37	36	rexbidv 1710	. . . . 5 |- (y = A -> (E.x e. om suc y = (2o .o x) <-> E.x e. om suc A = (2o .o x)))
38	37	notbid 614	. . . 4 |- (y = A -> (-. E.x e. om suc y = (2o .o x) <-> -. E.x e. om suc A = (2o .o x)))
39		eqeq1 1524	. . . . 5 |- (y = A -> (y = (2o .o x) <-> A = (2o .o x)))
40	39	rexbidv 1710	. . . 4 |- (y = A -> (E.x e. om y = (2o .o x) <-> E.x e. om A = (2o .o x)))
41	38, 40	imbi12d 629	. . 3 |- (y = A -> ((-. E.x e. om suc y = (2o .o x) -> E.x e. om y = (2o .o x)) <-> (-. E.x e. om suc A = (2o .o x) -> E.x e. om A = (2o .o x))))
42		peano1 3237	. . . . 5 |- (/) e. om
43		eqid 1518	. . . . 5 |- (/) = (/)
44		opreq2 4027	. . . . . . . 8 |- (x = (/) -> (2o .o x) = (2o .o (/)))
45		2on 4275	. . . . . . . . 9 |- 2o e. On
46		om0 4292	. . . . . . . . 9 |- (2o e. On -> (2o .o (/)) = (/))
47	45, 46	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (2o .o (/)) = (/)
48	44, 47	syl6eq 1566	. . . . . . 7 |- (x = (/) -> (2o .o x) = (/))
49	48	eqeq2d 1529	. . . . . 6 |- (x = (/) -> ((/) = (2o .o x) <-> (/) = (/)))
50	49	rcla4ev 1923	. . . . 5 |- (((/) e. om /\ (/) = (/)) -> E.x e. om (/) = (2o .o x))
51	42, 43, 50	mp2an 701	. . . 4 |- E.x e. om (/) = (2o .o x)
52	51	a1i 8	. . 3 |- (-. E.x e. om suc (/) = (2o .o x) -> E.x e. om (/) = (2o .o x))
53		nnon 3225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. om -> z e. On)
54		1on 4274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1o e. On
55		oaass 4331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. On /\ 1o e. On /\ 1o e. On) -> ((z +o 1o) +o 1o) = (z +o (1o +o 1o)))
56	54, 54, 55	mp3an23 914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. On -> ((z +o 1o) +o 1o) = (z +o (1o +o 1o)))
57		o1p1e2 4311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (1o +o 1o) = 2o
58	57	opreq2i 4030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z +o (1o +o 1o)) = (z +o 2o)
59	56, 58	syl6req 1567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. On -> (z +o 2o) = ((z +o 1o) +o 1o))
60		oa1suc 4300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. On -> (z +o 1o) = suc z)
61	60	opreq1d 4033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. On -> ((z +o 1o) +o 1o) = (suc z +o 1o))
62		suceloni 3170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. On -> suc z e. On)
63		oa1suc 4300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (suc z e. On -> (suc z +o 1o) = suc suc z)
64	62, 63	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. On -> (suc z +o 1o) = suc suc z)
65	59, 61, 64	3eqtrd 1554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. On -> (z +o 2o) = suc suc z)
66	53, 65	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. om -> (z +o 2o) = suc suc z)
67	66	eqcomd 1523	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. om -> suc suc z = (z +o 2o))
68	67	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . 11 |- (((z e. om /\ y e. om) /\ z = (2o .o y)) -> suc suc z = (z +o 2o))
69		opreq1 4026	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = (2o .o y) -> (z +o 2o) = ((2o .o y) +o 2o))
70		2onn 4394	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2o e. om
71		1onn 4393	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. om
72		nndi 4378	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((2o e. om /\ y e. om /\ 1o e. om) -> (2o .o (y +o 1o)) = ((2o .o y) +o (2o .o 1o)))
73	70, 71, 72	mp3an13 913	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. om -> (2o .o (y +o 1o)) = ((2o .o y) +o (2o .o 1o)))
74		om1 4312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (2o e. On -> (2o .o 1o) = 2o)
75	45, 74	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2o .o 1o) = 2o
76	75	opreq2i 4030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((2o .o y) +o (2o .o 1o)) = ((2o .o y) +o 2o)
77	73, 76	syl6req 1567	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. om -> ((2o .o y) +o 2o) = (2o .o (y +o 1o)))
78	69, 77	sylan9eqr 1572	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. om /\ z = (2o .o y)) -> (z +o 2o) = (2o .o (y +o 1o)))
79	78	adantll 392	. . . . . . . . . . 11 |- (((z e. om /\ y e. om) /\ z = (2o .o y)) -> (z +o 2o) = (2o .o (y +o 1o)))
80	68, 79	eqtrd 1550	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. om /\ y e. om) /\ z = (2o .o y)) -> suc suc z = (2o .o (y +o 1o)))
81	80	ex 371	. . . . . . . . 9 |- ((z e. om /\ y e. om) -> (z = (2o .o y) -> suc suc z = (2o .o (y +o 1o))))
82		nnacl 4369	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. om /\ 1o e. om) -> (y +o 1o) e. om)
83	71, 82	mpan2 700	. . . . . . . . . 10 |- (y e. om -> (y +o 1o) e. om)
84	83	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((z e. om /\ y e. om) -> (y +o 1o) e. om)
85	81, 84	jctild 604	. . . . . . . 8 |- ((z e. om /\ y e. om) -> (z = (2o .o y) -> ((y +o 1o) e. om /\ suc suc z = (2o .o (y +o 1o)))))
86		opreq2 4027	. . . . . . . . . 10 |- (x = (y +o 1o) -> (2o .o x) = (2o .o (y +o 1o)))
87	86	eqeq2d 1529	. . . . . . . . 9 |- (x = (y +o 1o) -> (suc suc z = (2o .o x) <-> suc suc z = (2o .o (y +o 1o))))
88	87	rcla4ev 1923	. . . . . . . 8 |- (((y +o 1o) e. om /\ suc suc z = (2o .o (y +o 1o))) -> E.x e. om suc suc z = (2o .o x))
89	85, 88	syl6 22	. . . . . . 7 |- ((z e. om /\ y e. om) -> (z = (2o .o y) -> E.x e. om suc suc z = (2o .o x)))
90	89	r19.23adva 1793	. . . . . 6 |- (z e. om -> (E.y e. om z = (2o .o y) -> E.x e. om suc suc z = (2o .o x)))
91	1	eqeq2d 1529	. . . . . . 7 |- (x = y -> (z = (2o .o x) <-> z = (2o .o y)))
92	91	cbvrexv 1847	. . . . . 6 |- (E.x e. om z = (2o .o x) <-> E.y e. om z = (2o .o y))
93	90, 92	syl5ib 204	. . . . 5 |- (z e. om -> (E.x e. om z = (2o .o x) -> E.x e. om suc suc z = (2o .o x)))
94	93	con3d 95	. . . 4 |- (z e. om -> (-. E.x e. om suc suc z = (2o .o x) -> -. E.x e. om z = (2o .o x)))
95		con1 92	. . . 4 |- ((-. E.x e. om suc z = (2o .o x) -> E.x e. om z = (2o .o x)) -> (-. E.x e. om z = (2o .o x) -> E.x e. om suc z = (2o .o x)))
96	94, 95	syl9 57	. . 3 |- (z e. om -> ((-. E.x e. om suc z = (2o .o x) -> E.x e. om z = (2o .o x)) -> (-. E.x e. om suc suc z = (2o .o x) -> E.x e. om suc z = (2o .o x))))
97	20, 27, 34, 41, 52, 96	finds 3244	. 2 |- (A e. om -> (-. E.x e. om suc A = (2o .o x) -> E.x e. om A = (2o .o x)))
98	13, 97	impbid2 521	1 |- (A e. om -> (E.x e. om A = (2o .o x) <-> -. E.x e. om suc A = (2o .o x)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wrex 1692  (/)c0 2332  Oncon0 2975  suc csuc 2977  omcom 3218  (class class class)co 4021  1oc1o 4264  2oc2o 4265   +o coa 4266   .o comu 4267

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-2o 4270  df-oadd 4271  df-omul 4272

Copyright terms: Public domain