Theorem nneoi 6368

Description: A natural number is even or odd but not both.

Hypothesis

Ref	Expression
nneo.1	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
nneoi	|- ((N / 2) e. NN <-> -. ((N + 1) / 2) e. NN)

Proof of Theorem nneoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2 6174	. . . . . . . 8 |- 1 < 2
2		1re 5589	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3		2re 6125	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
4		nneo.1	. . . . . . . . . 10 |- N e. NN
5	4	nnrei 6076	. . . . . . . . 9 |- N e. RR
6	2, 3, 5	ltadd2i 5744	. . . . . . . 8 |- (1 < 2 <-> (N + 1) < (N + 2))
7	1, 6	mpbi 187	. . . . . . 7 |- (N + 1) < (N + 2)
8	5, 2	readdcli 5488	. . . . . . . . 9 |- (N + 1) e. RR
9	8	recni 5468	. . . . . . . 8 |- (N + 1) e. CC
10		2cn 6126	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
11		2ne0 6136	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
12	9, 10, 11	divcan2i 5868	. . . . . . 7 |- (2 x. ((N + 1) / 2)) = (N + 1)
13	5, 3, 11	redivcli 5938	. . . . . . . . . 10 |- (N / 2) e. RR
14	13	recni 5468	. . . . . . . . 9 |- (N / 2) e. CC
15		ax1cn 5423	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
16	10, 14, 15	adddii 5480	. . . . . . . 8 |- (2 x. ((N / 2) + 1)) = ((2 x. (N / 2)) + (2 x. 1))
17	4	nncni 6077	. . . . . . . . . 10 |- N e. CC
18	17, 10, 11	divcan2i 5868	. . . . . . . . 9 |- (2 x. (N / 2)) = N
19	10	mulid1i 5486	. . . . . . . . 9 |- (2 x. 1) = 2
20	18, 19	opreq12i 4031	. . . . . . . 8 |- ((2 x. (N / 2)) + (2 x. 1)) = (N + 2)
21	16, 20	eqtri 1538	. . . . . . 7 |- (2 x. ((N / 2) + 1)) = (N + 2)
22	7, 12, 21	3brtr4i 2716	. . . . . 6 |- (2 x. ((N + 1) / 2)) < (2 x. ((N / 2) + 1))
23		2pos 6135	. . . . . . 7 |- 0 < 2
24	8, 3, 11	redivcli 5938	. . . . . . . 8 |- ((N + 1) / 2) e. RR
25	13, 2	readdcli 5488	. . . . . . . 8 |- ((N / 2) + 1) e. RR
26	24, 25, 3	ltmul2i 5977	. . . . . . 7 |- (0 < 2 -> (((N + 1) / 2) < ((N / 2) + 1) <-> (2 x. ((N + 1) / 2)) < (2 x. ((N / 2) + 1))))
27	23, 26	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (((N + 1) / 2) < ((N / 2) + 1) <-> (2 x. ((N + 1) / 2)) < (2 x. ((N / 2) + 1)))
28	22, 27	mpbir 188	. . . . 5 |- ((N + 1) / 2) < ((N / 2) + 1)
29	24, 25	ltnlei 5733	. . . . 5 |- (((N + 1) / 2) < ((N / 2) + 1) <-> -. ((N / 2) + 1) <_ ((N + 1) / 2))
30	28, 29	mpbi 187	. . . 4 |- -. ((N / 2) + 1) <_ ((N + 1) / 2)
31	5	ltp1i 5953	. . . . . 6 |- N < (N + 1)
32	5, 8, 3, 23	ltdiv1ii 5963	. . . . . 6 |- (N < (N + 1) <-> (N / 2) < ((N + 1) / 2))
33	31, 32	mpbi 187	. . . . 5 |- (N / 2) < ((N + 1) / 2)
34		nnltp1le 6101	. . . . 5 |- (((N / 2) e. NN /\ ((N + 1) / 2) e. NN) -> ((N / 2) < ((N + 1) / 2) <-> ((N / 2) + 1) <_ ((N + 1) / 2)))
35	33, 34	mpbii 191	. . . 4 |- (((N / 2) e. NN /\ ((N + 1) / 2) e. NN) -> ((N / 2) + 1) <_ ((N + 1) / 2))
36	30, 35	mto 105	. . 3 |- -. ((N / 2) e. NN /\ ((N + 1) / 2) e. NN)
37		imnan 240	. . 3 |- (((N / 2) e. NN -> -. ((N + 1) / 2) e. NN) <-> -. ((N / 2) e. NN /\ ((N + 1) / 2) e. NN))
38	36, 37	mpbir 188	. 2 |- ((N / 2) e. NN -> -. ((N + 1) / 2) e. NN)
39		opreq1 4026	. . . . . . . 8 |- (j = 1 -> (j + 1) = (1 + 1))
40	39	opreq1d 4033	. . . . . . 7 |- (j = 1 -> ((j + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
41	40	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (j = 1 -> (((j + 1) / 2) e. NN <-> ((1 + 1) / 2) e. NN))
42		opreq1 4026	. . . . . . 7 |- (j = 1 -> (j / 2) = (1 / 2))
43	42	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (j = 1 -> ((j / 2) e. NN <-> (1 / 2) e. NN))
44	41, 43	orbi12d 630	. . . . 5 |- (j = 1 -> ((((j + 1) / 2) e. NN \/ (j / 2) e. NN) <-> (((1 + 1) / 2) e. NN \/ (1 / 2) e. NN)))
45		opreq1 4026	. . . . . . . 8 |- (j = k -> (j + 1) = (k + 1))
46	45	opreq1d 4033	. . . . . . 7 |- (j = k -> ((j + 1) / 2) = ((k + 1) / 2))
47	46	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (j = k -> (((j + 1) / 2) e. NN <-> ((k + 1) / 2) e. NN))
48		opreq1 4026	. . . . . . 7 |- (j = k -> (j / 2) = (k / 2))
49	48	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (j = k -> ((j / 2) e. NN <-> (k / 2) e. NN))
50	47, 49	orbi12d 630	. . . . 5 |- (j = k -> ((((j + 1) / 2) e. NN \/ (j / 2) e. NN) <-> (((k + 1) / 2) e. NN \/ (k / 2) e. NN)))
51		opreq1 4026	. . . . . . . 8 |- (j = (k + 1) -> (j + 1) = ((k + 1) + 1))
52	51	opreq1d 4033	. . . . . . 7 |- (j = (k + 1) -> ((j + 1) / 2) = (((k + 1) + 1) / 2))
53	52	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (j = (k + 1) -> (((j + 1) / 2) e. NN <-> (((k + 1) + 1) / 2) e. NN))
54		opreq1 4026	. . . . . . 7 |- (j = (k + 1) -> (j / 2) = ((k + 1) / 2))
55	54	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (j = (k + 1) -> ((j / 2) e. NN <-> ((k + 1) / 2) e. NN))
56	53, 55	orbi12d 630	. . . . 5 |- (j = (k + 1) -> ((((j + 1) / 2) e. NN \/ (j / 2) e. NN) <-> ((((k + 1) + 1) / 2) e. NN \/ ((k + 1) / 2) e. NN)))
57		opreq1 4026	. . . . . . . 8 |- (j = N -> (j + 1) = (N + 1))
58	57	opreq1d 4033	. . . . . . 7 |- (j = N -> ((j + 1) / 2) = ((N + 1) / 2))
59	58	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (j = N -> (((j + 1) / 2) e. NN <-> ((N + 1) / 2) e. NN))
60		opreq1 4026	. . . . . . 7 |- (j = N -> (j / 2) = (N / 2))
61	60	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (j = N -> ((j / 2) e. NN <-> (N / 2) e. NN))
62	59, 61	orbi12d 630	. . . . 5 |- (j = N -> ((((j + 1) / 2) e. NN \/ (j / 2) e. NN) <-> (((N + 1) / 2) e. NN \/ (N / 2) e. NN)))
63		df-2 6116	. . . . . . . . 9 |- 2 = (1 + 1)
64	63	opreq1i 4029	. . . . . . . 8 |- (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
65	10, 11	dividi 5909	. . . . . . . 8 |- (2 / 2) = 1
66	64, 65	eqtr3i 1540	. . . . . . 7 |- ((1 + 1) / 2) = 1
67		1nn 6079	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
68	66, 67	eqeltri 1587	. . . . . 6 |- ((1 + 1) / 2) e. NN
69	68	orci 268	. . . . 5 |- (((1 + 1) / 2) e. NN \/ (1 / 2) e. NN)
70		nncn 6075	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> k e. CC)
71		addass 5461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((k e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((k + 1) + 1) = (k + (1 + 1)))
72	15, 15, 71	mp3an23 914	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k e. CC -> ((k + 1) + 1) = (k + (1 + 1)))
73	63	opreq2i 4030	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k + 2) = (k + (1 + 1))
74	72, 73	syl6eqr 1568	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. CC -> ((k + 1) + 1) = (k + 2))
75	74	opreq1d 4033	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. CC -> (((k + 1) + 1) / 2) = ((k + 2) / 2))
76	10, 11	pm3.2i 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- (2 e. CC /\ 2 =/= 0)
77		divdir 5896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((k e. CC /\ 2 e. CC /\ (2 e. CC /\ 2 =/= 0)) -> ((k + 2) / 2) = ((k / 2) + (2 / 2)))
78	10, 76, 77	mp3an23 914	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. CC -> ((k + 2) / 2) = ((k / 2) + (2 / 2)))
79	65	opreq2i 4030	. . . . . . . . . . . 12 |- ((k / 2) + (2 / 2)) = ((k / 2) + 1)
80	78, 79	syl6eq 1566	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. CC -> ((k + 2) / 2) = ((k / 2) + 1))
81	75, 80	eqtrd 1550	. . . . . . . . . 10 |- (k e. CC -> (((k + 1) + 1) / 2) = ((k / 2) + 1))
82	70, 81	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (((k + 1) + 1) / 2) = ((k / 2) + 1))
83	82	eleq1d 1583	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> ((((k + 1) + 1) / 2) e. NN <-> ((k / 2) + 1) e. NN))
84		peano2nn 6080	. . . . . . . 8 |- ((k / 2) e. NN -> ((k / 2) + 1) e. NN)
85	83, 84	syl5bir 208	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> ((k / 2) e. NN -> (((k + 1) + 1) / 2) e. NN))
86	85	orim2d 570	. . . . . 6 |- (k e. NN -> ((((k + 1) / 2) e. NN \/ (k / 2) e. NN) -> (((k + 1) / 2) e. NN \/ (((k + 1) + 1) / 2) e. NN)))
87		orcom 244	. . . . . 6 |- ((((k + 1) / 2) e. NN \/ (((k + 1) + 1) / 2) e. NN) <-> ((((k + 1) + 1) / 2) e. NN \/ ((k + 1) / 2) e. NN))
88	86, 87	syl6ib 210	. . . . 5 |- (k e. NN -> ((((k + 1) / 2) e. NN \/ (k / 2) e. NN) -> ((((k + 1) + 1) / 2) e. NN \/ ((k + 1) / 2) e. NN)))
89	44, 50, 56, 62, 69, 88	nnind 6082	. . . 4 |- (N e. NN -> (((N + 1) / 2) e. NN \/ (N / 2) e. NN))
90	4, 89	ax-mp 7	. . 3 |- (((N + 1) / 2) e. NN \/ (N / 2) e. NN)
91	90	ori 228	. 2 |- (-. ((N + 1) / 2) e. NN -> (N / 2) e. NN)
92	38, 91	impbii 155	1 |- ((N / 2) e. NN <-> -. ((N + 1) / 2) e. NN)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628   class class class wbr 2692  (class class class)co 4021  CCcc 5386  0cc0 5388  1c1 5389   + caddc 5391   x. cmul 5393   / cdiv 5448   <_ cle 5449  NNcn 5450   < clt 5640  2c2 6107

This theorem is referenced by:  nneo 6369  nnesqi 6863

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116

Copyright terms: Public domain