Theorem nnex 5935

Description: The set of natural numbers exists.

Assertion

Ref	Expression
nnex	|- NN e. V

Proof of Theorem nnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 5324	. 2 |- RR e. V
2		nnssre 5929	. 2 |- NN (_ RR
3	1, 2	ssexi 2725	1 |- NN e. V

Syntax hints:   e. wcel 960  Vcvv 1814  RRcr 5245  NNcn 5308

This theorem is referenced by:  nnind 5939  seq1val 6313  ser1ft 6329  ser1cl1 6331  ser1recl 6332  ser1ref 6333  ser1f2 6335  ser11 6336  ser1p1 6337  ser1mono 6338  ser1add2 6339  ser1add 6340  exp1t 6574  expp1t 6575  ser1absdiflem 6929  facnnt 6933  fac0 6934  fac1 6935  facp1t 6936  ser1mulc 7060  climfnn 7092  climaddc 7132  climmulc 7133  caucvg3a 7164  caucvg3lem 7166  ser1f0 7170  ser1const 7171  ser1cmp 7174  ser1cmp2 7177  cvgcmp2clem 7182  infcvglem1 7221  infcvg 7224  geolim1i 7238  geoisum1 7244  geoisum1c 7245  erelem2 7320  erelem6 7324  ege2lem2 7328  ege2le3lem2 7329  acdc3lem 7487  acdc2lem2 7490  acdc5lem2 7493  acdclem 7495  nnenom 7499  xpnnen 7500  xpomen 7501  qnnen 7504  unbenlem 7505  ruclem5 7515  metelcls 7962  metcnp4 7967  metcn4i 7969  addcn 7983  subcn 7984  mulcn 7985  sqcn 8331  nmobndseqi 8436  minveclem33 8573  minveceu 8579  h2hcau 8844  h2hlm 8845  hcau 9046  hlim2 9055  chlim 9099  hlim0 9100  hlimcau 9102  hlimuni 9104  occllem6 9173  projlem17 9197  projlem25 9205  projlem26 9206  osumlem5 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-n 5927

Copyright terms: Public domain