Theorem nnex 6078

Description: The set of natural numbers exists.

Assertion

Ref	Expression
nnex	|- NN e. V

Proof of Theorem nnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 5466	. 2 |- RR e. V
2		nnssre 6072	. 2 |- NN (_ RR
3	1, 2	ssexi 2794	1 |- NN e. V

Syntax hints:   e. wcel 994  Vcvv 1857  RRcr 5387  NNcn 5450

This theorem is referenced by:  nnind 6082  seq1val 6677  ser1f 6693  ser1cl1i 6695  ser1recli 6696  ser1refi 6697  ser1f2i 6699  ser11i 6700  ser1p1i 6701  ser1monoi 6702  ser1add2i 6703  ser1addi 6704  exp1 6768  expp1 6769  ser1absdiflem 7132  facnn 7136  fac0 7137  fac1 7138  facp1 7139  ser1mulci 7263  climfnn 7295  climaddci 7335  climmulci 7336  caucvg3ai 7367  caucvg3lem 7369  ser1f0i 7373  ser1consti 7374  ser1cmpi 7377  ser1cmp2i 7380  cvgcmp2clem 7385  cvgcmp2clemOLD 7386  infcvglem1 7425  infcvgi 7428  explecnv 7438  geolim1i 7443  geoisum1 7449  geoisum1c 7450  erelem2 7525  erelem6 7529  ege2lem2 7533  ege2le3lem2 7534  acdc3lem 7697  acdc4lem1 7699  acdc2lem2 7701  acdc5lem2 7704  acdclem 7706  nnenom 7710  xpnnen 7711  xpomen 7712  qnnen 7715  unbenlem 7716  ruclem5 7726  metelcls 8176  metcnp4 8181  metcn4i 8183  addcn 8197  subcn 8198  mulcn 8199  gx1 8318  gxnn0suc 8320  vacnlem6 8587  sqcn 8589  nmounbseqi 8694  nmobndseqi 8695  minveclem33 8837  minveceu 8843  h2hcau 9124  h2hlm 9125  hcau 9327  hlim2 9336  chlimi 9380  hlim0 9381  hlimcaui 9383  hlimunii 9385  occllem6 9454  projlem17 9478  projlem25 9486  projlem26 9487  osumlem5 9860  isppm 10917  sdclem2 11876  sdc 11877  geomcau 11914  tlmval 11964  tlmbr 11965  heiborlem7 12017  heiborlem10 12020  bfplem1 12054  bfplem2 12055  bfplem3 12056  bfplem8 12061

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-sub 5510  df-neg 5512  df-n 6070

Copyright terms: Public domain