MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexALT Structured version   Unicode version

Theorem nnexALT 10002
Description: The set of natural numbers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nnexALT  |-  NN  e.  _V

Proof of Theorem nnexALT
StepHypRef Expression
1 df-nn 10001 . 2  |-  NN  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 ) " om )
2 rdgfun 6674 . . 3  |-  Fun  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )
3 omex 7598 . . 3  |-  om  e.  _V
4 funimaexg 5530 . . 3  |-  ( ( Fun  rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 ) " om )  e.  _V )
52, 3, 4mp2an 654 . 2  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 ) " om )  e.  _V
61, 5eqeltri 2506 1  |-  NN  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    e. cmpt 4266   omcom 4845   "cima 4881   Fun wfun 5448  (class class class)co 6081   reccrdg 6667   1c1 8991    + caddc 8993   NNcn 10000
This theorem is referenced by:  zexALT  10300  qexALT  10589  rpnnen1lem1  10600  rpnnen1lem3  10602  rpnnen1lem4  10603  rpnnen1lem5  10604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001
  Copyright terms: Public domain W3C validator