MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcl Unicode version

Theorem nnexpcl 11118
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnexpcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 9753 . 2  |-  NN  C_  CC
2 nnmulcl 9771 . 2  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  NN )
3 1nn 9759 . 2  |-  1  e.  NN
41, 2, 3expcllem 11116 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1686  (class class class)co 5860   NNcn 9748   NN0cn0 9967   ^cexp 11106
This theorem is referenced by:  digit1  11237  nnexpcld  11268  faclbnd4lem3  11310  faclbnd5  11313  climcndslem1  12310  climcndslem2  12311  climcnds  12312  harmonic  12319  geo2sum  12331  geo2lim  12333  ege2le3  12373  eftlub  12391  ef01bndlem  12466  xpnnenOLD  12490  phiprmpw  12846  pcdvdsb  12923  pcmptcl  12941  pcfac  12949  pockthi  12956  prmreclem3  12967  prmreclem5  12969  prmreclem6  12970  modxai  13085  1259lem5  13135  2503lem3  13139  4001lem4  13144  ovollb2lem  18849  ovoliunlem1  18863  ovoliunlem3  18865  dyadf  18948  dyadovol  18950  dyadss  18951  dyaddisjlem  18952  dyadmaxlem  18954  opnmbllem  18958  mbfi1fseqlem1  19072  mbfi1fseqlem3  19074  mbfi1fseqlem4  19075  mbfi1fseqlem5  19076  mbfi1fseqlem6  19077  aalioulem1  19714  aaliou2b  19723  aaliou3lem9  19732  log2cnv  20242  log2tlbnd  20243  log2ublem1  20244  log2ublem2  20245  log2ub  20247  vmappw  20356  sgmnncl  20387  dvdsppwf1o  20428  0sgmppw  20439  1sgm2ppw  20441  vmasum  20457  mersenne  20468  perfect1  20469  perfectlem1  20470  perfectlem2  20471  perfect  20472  pcbcctr  20517  bclbnd  20521  bposlem2  20526  bposlem6  20530  bposlem8  20532  chebbnd1lem1  20620  rplogsumlem2  20636  ostth2lem3  20786  ostth3  20789  zetacvg  23691  cntrset  25613  heiborlem3  26548  heiborlem5  26550  heiborlem6  26551  heiborlem7  26552  heiborlem8  26553  heibor  26556  stoweidlem25  27785  stoweidlem45  27805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-seq 11049  df-exp 11107
  Copyright terms: Public domain W3C validator