MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcl Structured version   Unicode version

Theorem nnexpcl 11386
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnexpcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 9997 . 2  |-  NN  C_  CC
2 nnmulcl 10015 . 2  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  NN )
3 1nn 10003 . 2  |-  1  e.  NN
41, 2, 3expcllem 11384 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ^cexp 11374
This theorem is referenced by:  digit1  11505  nnexpcld  11536  faclbnd4lem3  11578  faclbnd5  11581  climcndslem1  12621  climcndslem2  12622  climcnds  12623  harmonic  12630  geo2sum  12642  geo2lim  12644  ege2le3  12684  eftlub  12702  ef01bndlem  12777  xpnnenOLD  12801  phiprmpw  13157  pcdvdsb  13234  pcmptcl  13252  pcfac  13260  pockthi  13267  prmreclem3  13278  prmreclem5  13280  prmreclem6  13281  modxai  13396  1259lem5  13446  2503lem3  13450  4001lem4  13455  ovollb2lem  19376  ovoliunlem1  19390  ovoliunlem3  19392  dyadf  19475  dyadovol  19477  dyadss  19478  dyaddisjlem  19479  dyadmaxlem  19481  opnmbllem  19485  mbfi1fseqlem1  19599  mbfi1fseqlem3  19601  mbfi1fseqlem4  19602  mbfi1fseqlem5  19603  mbfi1fseqlem6  19604  aalioulem1  20241  aaliou2b  20250  aaliou3lem9  20259  log2cnv  20776  log2tlbnd  20777  log2ublem1  20778  log2ublem2  20779  log2ub  20781  vmappw  20891  sgmnncl  20922  dvdsppwf1o  20963  0sgmppw  20974  1sgm2ppw  20976  vmasum  20992  mersenne  21003  perfect1  21004  perfectlem1  21005  perfectlem2  21006  perfect  21007  pcbcctr  21052  bclbnd  21056  bposlem2  21061  bposlem6  21065  bposlem8  21067  chebbnd1lem1  21155  rplogsumlem2  21171  ostth2lem3  21321  ostth3  21324  zetacvg  24791  faclim2  25359  mblfinlem  26234  heiborlem3  26513  heiborlem5  26515  heiborlem6  26516  heiborlem7  26517  heiborlem8  26518  heibor  26521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-seq 11316  df-exp 11375
  Copyright terms: Public domain W3C validator