MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcl Unicode version

Theorem nnexpcl 11321
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnexpcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 9937 . 2  |-  NN  C_  CC
2 nnmulcl 9955 . 2  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  NN )
3 1nn 9943 . 2  |-  1  e.  NN
41, 2, 3expcllem 11319 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717  (class class class)co 6020   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ^cexp 11309
This theorem is referenced by:  digit1  11440  nnexpcld  11471  faclbnd4lem3  11513  faclbnd5  11516  climcndslem1  12556  climcndslem2  12557  climcnds  12558  harmonic  12565  geo2sum  12577  geo2lim  12579  ege2le3  12619  eftlub  12637  ef01bndlem  12712  xpnnenOLD  12736  phiprmpw  13092  pcdvdsb  13169  pcmptcl  13187  pcfac  13195  pockthi  13202  prmreclem3  13213  prmreclem5  13215  prmreclem6  13216  modxai  13331  1259lem5  13381  2503lem3  13385  4001lem4  13390  ovollb2lem  19251  ovoliunlem1  19265  ovoliunlem3  19267  dyadf  19350  dyadovol  19352  dyadss  19353  dyaddisjlem  19354  dyadmaxlem  19356  opnmbllem  19360  mbfi1fseqlem1  19474  mbfi1fseqlem3  19476  mbfi1fseqlem4  19477  mbfi1fseqlem5  19478  mbfi1fseqlem6  19479  aalioulem1  20116  aaliou2b  20125  aaliou3lem9  20134  log2cnv  20651  log2tlbnd  20652  log2ublem1  20653  log2ublem2  20654  log2ub  20656  vmappw  20766  sgmnncl  20797  dvdsppwf1o  20838  0sgmppw  20849  1sgm2ppw  20851  vmasum  20867  mersenne  20878  perfect1  20879  perfectlem1  20880  perfectlem2  20881  perfect  20882  pcbcctr  20927  bclbnd  20931  bposlem2  20936  bposlem6  20940  bposlem8  20942  chebbnd1lem1  21030  rplogsumlem2  21046  ostth2lem3  21196  ostth3  21199  zetacvg  24578  faclim2  25125  heiborlem3  26213  heiborlem5  26215  heiborlem6  26216  heiborlem7  26217  heiborlem8  26218  heibor  26221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-seq 11251  df-exp 11310
  Copyright terms: Public domain W3C validator