Theorem nnge1 6088

Description: A natural number is one or greater.

Assertion

Ref	Expression
nnge1	|- (A e. NN -> 1 <_ A)

Proof of Theorem nnge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2696	. 2 |- (x = 1 -> (1 <_ x <-> 1 <_ 1))
2		breq2 2696	. 2 |- (x = y -> (1 <_ x <-> 1 <_ y))
3		breq2 2696	. 2 |- (x = (y + 1) -> (1 <_ x <-> 1 <_ (y + 1)))
4		breq2 2696	. 2 |- (x = A -> (1 <_ x <-> 1 <_ A))
5		1re 5589	. . 3 |- 1 e. RR
6	5	leidi 5764	. 2 |- 1 <_ 1
7		nnre 6074	. . 3 |- (y e. NN -> y e. RR)
8		recn 5467	. . . . . 6 |- (y e. RR -> y e. CC)
9		addid1 5464	. . . . . 6 |- (y e. CC -> (y + 0) = y)
10	8, 9	syl 10	. . . . 5 |- (y e. RR -> (y + 0) = y)
11	10	breq2d 2703	. . . 4 |- (y e. RR -> (1 <_ (y + 0) <-> 1 <_ y))
12		lt01 5836	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
13		0re 5594	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
14		axltadd 5659	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR /\ y e. RR) -> (0 < 1 -> (y + 0) < (y + 1)))
15	13, 5, 14	mp3an12 912	. . . . . . . 8 |- (y e. RR -> (0 < 1 -> (y + 0) < (y + 1)))
16	12, 15	mpi 44	. . . . . . 7 |- (y e. RR -> (y + 0) < (y + 1))
17		axlttrn 5658	. . . . . . . . 9 |- (((y + 0) e. RR /\ (y + 1) e. RR /\ 1 e. RR) -> (((y + 0) < (y + 1) /\ (y + 1) < 1) -> (y + 0) < 1))
18	5, 17	mp3an3 911	. . . . . . . 8 |- (((y + 0) e. RR /\ (y + 1) e. RR) -> (((y + 0) < (y + 1) /\ (y + 1) < 1) -> (y + 0) < 1))
19		readdcl 5456	. . . . . . . . 9 |- ((y e. RR /\ 0 e. RR) -> (y + 0) e. RR)
20	13, 19	mpan2 700	. . . . . . . 8 |- (y e. RR -> (y + 0) e. RR)
21		peano2re 5590	. . . . . . . 8 |- (y e. RR -> (y + 1) e. RR)
22	18, 20, 21	sylanc 473	. . . . . . 7 |- (y e. RR -> (((y + 0) < (y + 1) /\ (y + 1) < 1) -> (y + 0) < 1))
23	16, 22	mpand 705	. . . . . 6 |- (y e. RR -> ((y + 1) < 1 -> (y + 0) < 1))
24	23	con3d 95	. . . . 5 |- (y e. RR -> (-. (y + 0) < 1 -> -. (y + 1) < 1))
25	20, 5	jctil 290	. . . . . 6 |- (y e. RR -> (1 e. RR /\ (y + 0) e. RR))
26		lenlt 5664	. . . . . 6 |- ((1 e. RR /\ (y + 0) e. RR) -> (1 <_ (y + 0) <-> -. (y + 0) < 1))
27	25, 26	syl 10	. . . . 5 |- (y e. RR -> (1 <_ (y + 0) <-> -. (y + 0) < 1))
28	21, 5	jctil 290	. . . . . 6 |- (y e. RR -> (1 e. RR /\ (y + 1) e. RR))
29		lenlt 5664	. . . . . 6 |- ((1 e. RR /\ (y + 1) e. RR) -> (1 <_ (y + 1) <-> -. (y + 1) < 1))
30	28, 29	syl 10	. . . . 5 |- (y e. RR -> (1 <_ (y + 1) <-> -. (y + 1) < 1))
31	24, 27, 30	3imtr4d 546	. . . 4 |- (y e. RR -> (1 <_ (y + 0) -> 1 <_ (y + 1)))
32	11, 31	sylbird 203	. . 3 |- (y e. RR -> (1 <_ y -> 1 <_ (y + 1)))
33	7, 32	syl 10	. 2 |- (y e. NN -> (1 <_ y -> 1 <_ (y + 1)))
34	1, 2, 3, 4, 6, 33	nnind 6082	1 |- (A e. NN -> 1 <_ A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994   class class class wbr 2692  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  0cc0 5388  1c1 5389   + caddc 5391   <_ cle 5449  NNcn 5450   < clt 5640

This theorem is referenced by:  nngt1ne1 6089  nnle1eq1 6090  nngt0 6091  lt1nnn 6092  nnrecgt0 6099  nnleltp1 6100  nnsubi 6102  nnaddm1cl 6104  nn0ltp1le 6295  elnnz1 6323  elnnnn0c 6342  zltp1le 6349  monoord 6482  expm1 6795  digit1 6856  nnlesqi 6862  seq1ublem 7114  faclbnd 7148  faclbnd3 7150  faclbnd4lem1 7151  faclbnd4lem3 7153  faclbnd4lem4 7154  facavg 7158  bcpasc2i 7170  bccl2 7174  ser1cmp2i 7380  efaddlem2 7544  efaddlem8 7550  efaddlem12 7554  efaddlem20 7562  ef1tllem 7586  eirrlem1 7594  eflegeolem1 7621  sin01bndlem1 7676  infpnlem2 7719  infpn2 7721  bcthlem16 8225  bcthlem18 8227  nndivlub 10707  mettrifi 11912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070

Copyright terms: Public domain