Theorem nnind 5885

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. See nnaddclt 5888 for an example of its use. See nn0ind 6160 for induction on nonnegative integers and uzind 6153, uzind4 6382 for induction on an arbitrary set of upper integers. See indstr 6393 for strong induction.

Hypotheses

Ref	Expression
nnind.1	|- (x = 1 -> (ph <-> ps))
nnind.2	|- (x = y -> (ph <-> ch))
nnind.3	|- (x = (y + 1) -> (ph <-> th))
nnind.4	|- (x = A -> (ph <-> ta))
nnind.5	|- ps
nnind.6	|- (y e. NN -> (ch -> th))

Assertion

Ref	Expression
nnind	|- (A e. NN -> ta)

Distinct variable groups:   x,y   x,A   ps,x   ch,x   th,x   ta,x   ph,y

Proof of Theorem nnind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnind.1	. . . . . . 7 |- (x = 1 -> (ph <-> ps))
2	1	elrab 1896	. . . . . 6 |- (1 e. {x e. NN | ph} <-> (1 e. NN /\ ps))
3		1nn 5882	. . . . . 6 |- 1 e. NN
4		nnind.5	. . . . . 6 |- ps
5	2, 3, 4	mpbir2an 728	. . . . 5 |- 1 e. {x e. NN | ph}
6		ssrab2 2121	. . . . . . . 8 |- {x e. NN | ph} (_ NN
7	6	sseli 2055	. . . . . . 7 |- (y e. {x e. NN | ph} -> y e. NN)
8		peano2nn 5883	. . . . . . . . . 10 |- (y e. NN -> (y + 1) e. NN)
9	8	a1d 12	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> (y e. NN -> (y + 1) e. NN))
10		nnind.6	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> (ch -> th))
11	9, 10	anim12d 556	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> ((y e. NN /\ ch) -> ((y + 1) e. NN /\ th)))
12		nnind.2	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (ph <-> ch))
13	12	elrab 1896	. . . . . . . 8 |- (y e. {x e. NN | ph} <-> (y e. NN /\ ch))
14		nnind.3	. . . . . . . . 9 |- (x = (y + 1) -> (ph <-> th))
15	14	elrab 1896	. . . . . . . 8 |- ((y + 1) e. {x e. NN | ph} <-> ((y + 1) e. NN /\ th))
16	11, 13, 15	3imtr4g 551	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (y e. {x e. NN | ph} -> (y + 1) e. {x e. NN | ph}))
17	7, 16	mpcom 49	. . . . . 6 |- (y e. {x e. NN | ph} -> (y + 1) e. {x e. NN | ph})
18	17	rgen 1690	. . . . 5 |- A.y e. {x e. NN | ph} (y + 1) e. {x e. NN | ph}
19		nnex 5881	. . . . . . 7 |- NN e. V
20	19	rabex 2715	. . . . . 6 |- {x e. NN | ph} e. V
21	20	peano5nn 5874	. . . . 5 |- ((1 e. {x e. NN | ph} /\ A.y e. {x e. NN | ph} (y + 1) e. {x e. NN | ph}) -> NN (_ {x e. NN | ph})
22	5, 18, 21	mp2an 695	. . . 4 |- NN (_ {x e. NN | ph}
23	22	sseli 2055	. . 3 |- (A e. NN -> A e. {x e. NN | ph})
24		nnind.4	. . . 4 |- (x = A -> (ph <-> ta))
25	24	elrab 1896	. . 3 |- (A e. {x e. NN | ph} <-> (A e. NN /\ ta))
26	23, 25	sylib 198	. 2 |- (A e. NN -> (A e. NN /\ ta))
27	26	pm3.27d 325	1 |- (A e. NN -> ta)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  {crab 1640   (_ wss 2037  (class class class)co 3948  1c1 5207   + caddc 5209  NNcn 5268

This theorem is referenced by:  nnindALT 5886  nn1suc 5887  nnaddclt 5888  nnmulclt 5889  nnge1t 5891  nnleltp1t 5901  nnsub 5903  nneo 6144  uzindOLD 6156  nn0ind-raph 6162  monoord 6231  seq1lem1 6246  seq1rn2 6258  seq1res 6264  ser1recl 6268  ser1add2 6275  ser1add 6276  seq1shftid 6293  expcllem 6507  expeq0t 6517  expgt1t 6523  seq1bnd 6847  ser1absdiflem 6866  bccl2t 6909  binomlem6 7009  ser1const 7107  ser1cmp 7110  ser1cmp2 7113  cvgratlem1ALT 7182  cvgratlem1 7185  ruclem25 7477  ruclem32 7484

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-n 5873

Copyright terms: Public domain