Theorem nnind 6082

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. See nnaddcl 6085 for an example of its use. See nn0ind 6383 for induction on nonnegative integers and uzind 6376, uzind4 6577 for induction on an arbitrary set of upper integers. See indstr 6588 for strong induction.

Hypotheses

Ref	Expression
nnind.1	|- (x = 1 -> (ph <-> ps))
nnind.2	|- (x = y -> (ph <-> ch))
nnind.3	|- (x = (y + 1) -> (ph <-> th))
nnind.4	|- (x = A -> (ph <-> ta))
nnind.5	|- ps
nnind.6	|- (y e. NN -> (ch -> th))

Assertion

Ref	Expression
nnind	|- (A e. NN -> ta)

Distinct variable groups:   x,y   x,A   ps,x   ch,x   th,x   ta,x   ph,y

Proof of Theorem nnind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnind.1	. . . . . . 7 |- (x = 1 -> (ph <-> ps))
2	1	elrab 1951	. . . . . 6 |- (1 e. {x e. NN | ph} <-> (1 e. NN /\ ps))
3		1nn 6079	. . . . . 6 |- 1 e. NN
4		nnind.5	. . . . . 6 |- ps
5	2, 3, 4	mpbir2an 735	. . . . 5 |- 1 e. {x e. NN | ph}
6		ssrab2 2183	. . . . . . . 8 |- {x e. NN | ph} (_ NN
7	6	sseli 2117	. . . . . . 7 |- (y e. {x e. NN | ph} -> y e. NN)
8		peano2nn 6080	. . . . . . . . . 10 |- (y e. NN -> (y + 1) e. NN)
9	8	a1d 12	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> (y e. NN -> (y + 1) e. NN))
10		nnind.6	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> (ch -> th))
11	9, 10	anim12d 561	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> ((y e. NN /\ ch) -> ((y + 1) e. NN /\ th)))
12		nnind.2	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (ph <-> ch))
13	12	elrab 1951	. . . . . . . 8 |- (y e. {x e. NN | ph} <-> (y e. NN /\ ch))
14		nnind.3	. . . . . . . . 9 |- (x = (y + 1) -> (ph <-> th))
15	14	elrab 1951	. . . . . . . 8 |- ((y + 1) e. {x e. NN | ph} <-> ((y + 1) e. NN /\ th))
16	11, 13, 15	3imtr4g 556	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (y e. {x e. NN | ph} -> (y + 1) e. {x e. NN | ph}))
17	7, 16	mpcom 49	. . . . . 6 |- (y e. {x e. NN | ph} -> (y + 1) e. {x e. NN | ph})
18	17	rgen 1744	. . . . 5 |- A.y e. {x e. NN | ph} (y + 1) e. {x e. NN | ph}
19		nnex 6078	. . . . . . 7 |- NN e. V
20	19	rabex 2799	. . . . . 6 |- {x e. NN | ph} e. V
21	20	peano5nni 6071	. . . . 5 |- ((1 e. {x e. NN | ph} /\ A.y e. {x e. NN | ph} (y + 1) e. {x e. NN | ph}) -> NN (_ {x e. NN | ph})
22	5, 18, 21	mp2an 701	. . . 4 |- NN (_ {x e. NN | ph}
23	22	sseli 2117	. . 3 |- (A e. NN -> A e. {x e. NN | ph})
24		nnind.4	. . . 4 |- (x = A -> (ph <-> ta))
25	24	elrab 1951	. . 3 |- (A e. {x e. NN | ph} <-> (A e. NN /\ ta))
26	23, 25	sylib 196	. 2 |- (A e. NN -> (A e. NN /\ ta))
27	26	pm3.27d 323	1 |- (A e. NN -> ta)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  {crab 1694   (_ wss 2099  (class class class)co 4021  1c1 5389   + caddc 5391  NNcn 5450

This theorem is referenced by:  nnindALT 6083  nn1suc 6084  nnaddcl 6085  nnmulcl 6086  nnge1 6088  nnleltp1 6100  nnsubi 6102  nneoi 6368  uzindOLD 6379  nn0ind-raph 6385  monoord 6482  seq1lem1 6674  seq1rn2 6686  seq1res 6692  ser1recli 6696  ser1add2i 6703  ser1addi 6704  seq1shftid 6721  expcllem 6770  expeq0 6780  expgt1 6786  seq1bndi 7113  ser1absdiflem 7132  bccl2 7174  binomlem6 7274  ser1consti 7374  ser1cmpi 7377  ser1cmp2i 7380  cvgratlem1ALT 7452  cvgratlem1 7455  ruclem25 7746  ruclem32 7753  sdclem2 11876  incsequz 11879  mettrifi 11912  bfplem6 12059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-sub 5510  df-neg 5512  df-n 6070

Copyright terms: Public domain