MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnind Unicode version

Theorem nnind 9732
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. See nnaddcl 9736 for an example of its use. See nn0ind 10076 for induction on nonnegative integers and uzind 10071, uzind4 10244 for induction on an arbitrary set of upper integers. See indstr 10255 for strong induction. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
nnind.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
nnind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
nnind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
nnind.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
nnind.5  |-  ps
nnind.6  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
nnind  |-  ( A  e.  NN  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem nnind
StepHypRef Expression
1 1nn 9725 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
2 nnind.5 . . . . . 6  |-  ps
3 nnind.1 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
43elrab 2898 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( 1  e.  NN  /\  ps ) )
51, 2, 4mpbir2an 891 . . . . 5  |-  1  e.  { x  e.  NN  |  ph }
6 ssrab2 3233 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  NN  |  ph }  C_  NN
76sseli 3151 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  y  e.  NN )
8 peano2nn 9726 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
98a1d 24 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  NN  ->  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
10 nnind.6 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ch  ->  th ) )
119, 10anim12d 548 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  e.  NN  /\ 
ch )  ->  (
( y  +  1 )  e.  NN  /\  th ) ) )
12 nnind.2 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
1312elrab 2898 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( y  e.  NN  /\  ch ) )
14 nnind.3 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
1514elrab 2898 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  +  1 )  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( ( y  +  1 )  e.  NN  /\  th ) )
1611, 13, 153imtr4g 263 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  ( y  +  1 )  e.  { x  e.  NN  |  ph }
) )
177, 16mpcom 34 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  ( y  +  1 )  e.  { x  e.  NN  |  ph }
)
1817rgen 2583 . . . . 5  |-  A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ( y  +  1 )  e. 
{ x  e.  NN  |  ph }
19 peano5nni 9717 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  { x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  {
x  e.  NN  |  ph }  ( y  +  1 )  e.  {
x  e.  NN  |  ph } )  ->  NN  C_ 
{ x  e.  NN  |  ph } )
205, 18, 19mp2an 656 . . . 4  |-  NN  C_  { x  e.  NN  |  ph }
2120sseli 3151 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  { x  e.  NN  |  ph } )
22 nnind.4 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
2322elrab 2898 . . 3  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( A  e.  NN  /\  ta ) )
2421, 23sylib 190 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  /\  ta ) )
2524simprd 451 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   {crab 2522    C_ wss 3127  (class class class)co 5792   1c1 8706    + caddc 8708   NNcn 9714
This theorem is referenced by:  nnindALT  9733  nn1m1nn  9734  nnaddcl  9736  nnmulcl  9737  nnge1  9740  nnsub  9752  nneo  10063  peano5uzi  10068  uzindOLD  10074  nn0ind-raph  10080  ser1const  11069  expcllem  11081  expeq0  11099  seqcoll  11367  climcndslem2  12272  sqr2irr  12490  gcdmultiple  12692  rplpwr  12698  prmind2  12732  prmdvdsexp  12756  eulerthlem2  12813  pcmpt  12903  prmpwdvds  12914  vdwlem10  13000  mulgnnass  14558  imasdsf1olem  17900  ovolunlem1a  18818  ovolicc2lem3  18841  voliunlem1  18870  volsup  18876  dvexp  19265  plyco  19586  dgrcolem1  19617  vieta1  19655  emcllem6  20257  bposlem5  20490  2sqlem10  20576  dchrisum0flb  20622  subfacp1lem6  23089  cvmliftlem10  23198  incsequz  25826  bfplem1  25914  2nn0ind  26398  expmordi  26400  fmuldfeq  27082  stoweidlem20  27138  wallispilem4  27186  wallispi2lem1  27189  wallispi2lem2  27190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-1cn 8763
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-n 9715
  Copyright terms: Public domain W3C validator