MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmass Unicode version

Theorem nnmass 6638
Description: Multiplication of natural numbers is associative. Theorem 4K(4) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmass  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )

Proof of Theorem nnmass
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  C ) )
2 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  C
) )
32oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
41, 3eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) ) )
54imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) ) ) )
6 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  (/) ) )
7 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
87oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) )
96, 8eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) ) )
10 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  y ) )
11 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
1211oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
1310, 12eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
14 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( ( A  .o  B )  .o  suc  y ) )
15 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
1615oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y
) ) )
1714, 16eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <-> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
18 nnmcl 6626 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
19 nnm0 6619 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .o  B )  e.  om  ->  (
( A  .o  B
)  .o  (/) )  =  (/) )
2018, 19syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  (/) )
21 nnm0 6619 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  .o  (/) )  =  (/) )
2221oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) )  =  ( A  .o  (/) ) )
23 nnm0 6619 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
2422, 23sylan9eqr 2350 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) )  =  (/) )
2520, 24eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) )
26 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  y
)  +o  ( A  .o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) )
27 nnmsuc 6621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  +o  ( A  .o  B ) ) )
2818, 27sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o 
suc  y )  =  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  +o  ( A  .o  B ) ) )
29283impa 1146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  suc  y
)  =  ( ( ( A  .o  B
)  .o  y )  +o  ( A  .o  B ) ) )
30 nnmsuc 6621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
31303adant1 973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )
3231oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( A  .o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) ) )
33 nnmcl 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  .o  y
)  e.  om )
34 nndi 6637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  .o  y
)  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
3533, 34syl3an2 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B
) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
36353exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  .o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) ) ) )
3736exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) ) )
3837com34 77 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) ) )
3938pm2.43d 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) )
40393imp 1145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y
) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
4132, 40eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y
) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
4229, 41eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  <->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  +o  ( A  .o  B
) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) ) )
4326, 42syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
44433exp 1150 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4544com3r 73 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4645imp3a 420 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o 
suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) )
479, 13, 17, 25, 46finds2 4700 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
485, 47vtoclga 2862 . . 3  |-  ( C  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  C
)  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) ) )
4948exp3acom3r 1360 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( ( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) ) ) )
50493imp 1145 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   (/)c0 3468   suc csuc 4410   omcom 4672  (class class class)co 5874    +o coa 6492    .o comu 6493
This theorem is referenced by:  mulasspi  8537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-omul 6500
  Copyright terms: Public domain W3C validator