MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmass Unicode version

Theorem nnmass 6576
Description: Multiplication of natural numbers is associative. Theorem 4K(4) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmass  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )

Proof of Theorem nnmass
StepHypRef Expression
1 oveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  C ) )
2 oveq2 5786 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  C
) )
32oveq2d 5794 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
41, 3eqeq12d 2270 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) ) )
54imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) ) ) )
6 oveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  (/) ) )
7 oveq2 5786 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
87oveq2d 5794 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) )
96, 8eqeq12d 2270 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) ) )
10 oveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  y ) )
11 oveq2 5786 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
1211oveq2d 5794 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
1310, 12eqeq12d 2270 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
14 oveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( ( A  .o  B )  .o  suc  y ) )
15 oveq2 5786 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
1615oveq2d 5794 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y
) ) )
1714, 16eqeq12d 2270 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <-> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
18 nnmcl 6564 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
19 nnm0 6557 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .o  B )  e.  om  ->  (
( A  .o  B
)  .o  (/) )  =  (/) )
2018, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  (/) )
21 nnm0 6557 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  .o  (/) )  =  (/) )
2221oveq2d 5794 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) )  =  ( A  .o  (/) ) )
23 nnm0 6557 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
2422, 23sylan9eqr 2310 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) )  =  (/) )
2520, 24eqtr4d 2291 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) )
26 oveq1 5785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  y
)  +o  ( A  .o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) )
27 nnmsuc 6559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  +o  ( A  .o  B ) ) )
2818, 27sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o 
suc  y )  =  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  +o  ( A  .o  B ) ) )
29283impa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  suc  y
)  =  ( ( ( A  .o  B
)  .o  y )  +o  ( A  .o  B ) ) )
30 nnmsuc 6559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
31303adant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )
3231oveq2d 5794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( A  .o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) ) )
33 nnmcl 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  .o  y
)  e.  om )
34 nndi 6575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  .o  y
)  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
3533, 34syl3an2 1221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B
) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
36353exp 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  .o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) ) ) )
3736exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) ) )
3837com34 79 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) ) )
3938pm2.43d 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) )
40393imp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y
) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
4132, 40eqtrd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y
) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
4229, 41eqeq12d 2270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  <->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  +o  ( A  .o  B
) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) ) )
4326, 42syl5ibr 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
44433exp 1155 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4544com3r 75 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4645imp3a 422 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o 
suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) )
479, 13, 17, 25, 46finds2 4642 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
485, 47vtoclga 2817 . . 3  |-  ( C  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  C
)  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) ) )
4948exp3acom3r 1366 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( ( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) ) ) )
50493imp 1150 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3416   suc csuc 4352   omcom 4614  (class class class)co 5778    +o coa 6430    .o comu 6431
This theorem is referenced by:  mulasspi  8475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-oadd 6437  df-omul 6438
  Copyright terms: Public domain W3C validator