MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmcan Unicode version

Theorem nnmcan 6813
Description: Cancellation law for multiplication of natural numbers. (Contributed by NM, 26-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmcan  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  <->  B  =  C
) )

Proof of Theorem nnmcan
StepHypRef Expression
1 3anrot 941 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( B  e.  om  /\  C  e. 
om  /\  A  e.  om ) )
2 nnmword 6812 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( B  C_  C 
<->  ( A  .o  B
)  C_  ( A  .o  C ) ) )
31, 2sylanb 459 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( B  C_  C 
<->  ( A  .o  B
)  C_  ( A  .o  C ) ) )
4 3anrev 947 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( C  e.  om  /\  B  e. 
om  /\  A  e.  om ) )
5 nnmword 6812 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( C  C_  B 
<->  ( A  .o  C
)  C_  ( A  .o  B ) ) )
64, 5sylanb 459 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( C  C_  B 
<->  ( A  .o  C
)  C_  ( A  .o  B ) ) )
73, 6anbi12d 692 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( B 
C_  C  /\  C  C_  B )  <->  ( ( A  .o  B )  C_  ( A  .o  C
)  /\  ( A  .o  C )  C_  ( A  .o  B ) ) ) )
87bicomd 193 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( ( A  .o  B ) 
C_  ( A  .o  C )  /\  ( A  .o  C )  C_  ( A  .o  B
) )  <->  ( B  C_  C  /\  C  C_  B ) ) )
9 eqss 3306 . 2  |-  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C )  <->  ( ( A  .o  B )  C_  ( A  .o  C
)  /\  ( A  .o  C )  C_  ( A  .o  B ) ) )
10 eqss 3306 . 2  |-  ( B  =  C  <->  ( B  C_  C  /\  C  C_  B ) )
118, 9, 103bitr4g 280 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  <->  B  =  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3263   (/)c0 3571   omcom 4785  (class class class)co 6020    .o comu 6658
This theorem is referenced by:  mulcanpi  8710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-oadd 6664  df-omul 6665
  Copyright terms: Public domain W3C validator