Theorem nnmcl 6578

Description: Closure of multiplication of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcl	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )

Proof of Theorem nnmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5800	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A .o x ) = ( A .o B ) )
2	1	eleq1d 2324	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o B ) e. om ) )
3	2	imbi2d 309	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( A .o x ) e. om ) <-> ( A e. om -> ( A .o B ) e. om ) ) )
4		oveq2 5800	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
5	4	eleq1d 2324	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o (/) ) e. om ) )
6		oveq2 5800	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A .o x ) = ( A .o y ) )
7	6	eleq1d 2324	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o y ) e. om ) )
8		oveq2 5800	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A .o x ) = ( A .o suc y ) )
9	8	eleq1d 2324	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o suc y ) e. om ) )
10		nnm0 6571	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
11		peano1 4647	. . . . 5 |- (/) e. om
12	10, 11	syl6eqel 2346	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) e. om )
13		nnacl 6577	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om ) -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om )
14	13	expcom 426	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( A .o y ) e. om -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
15	14	adantr 453	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) e. om -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
16		nnmsuc 6573	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o suc y ) = ( ( A .o y ) +o A ) )
17	16	eleq1d 2324	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) e. om <-> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
18	15, 17	sylibrd 227	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) e. om -> ( A .o suc y ) e. om ) )
19	18	expcom 426	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A .o y ) e. om -> ( A .o suc y ) e. om ) ) )
20	5, 7, 9, 12, 19	finds2 4656	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( A .o x ) e. om ) )
21	3, 20	vtoclga 2824	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A .o B ) e. om ) )
22	21	impcom 421	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 6   /\ wa 360   = wceq 1619   e. wcel 1621   (/)c0 3430   suc csuc 4366   omcom 4628  (class class class)co 5792   +o coa 6444   .o comu 6445

This theorem is referenced by:  nnecl  6579  nnmcli  6581  nndi  6589  nnmass  6590  nnmsucr  6591  nnmordi  6597  nnmord  6598  nnmword  6599  omabslem  6612  nnneo  6617  nneob  6618  fin1a2lem4  7997  mulclpi  8485

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-oadd 6451  df-omul 6452