MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmcl Unicode version

Theorem nnmcl 6496
Description: Closure of multiplication of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmcl  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )

Proof of Theorem nnmcl
StepHypRef Expression
1 oveq2 5718 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  B
) )
21eleq1d 2319 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  .o  x
)  e.  om  <->  ( A  .o  B )  e.  om ) )
32imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  .o  x
)  e.  om )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  B )  e.  om ) ) )
4 oveq2 5718 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
54eleq1d 2319 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  x )  e.  om  <->  ( A  .o  (/) )  e.  om ) )
6 oveq2 5718 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
76eleq1d 2319 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  x
)  e.  om  <->  ( A  .o  y )  e.  om ) )
8 oveq2 5718 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
98eleq1d 2319 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  x )  e.  om  <->  ( A  .o  suc  y
)  e.  om )
)
10 nnm0 6489 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
11 peano1 4566 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
1210, 11syl6eqel 2341 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  e.  om )
13 nnacl 6495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A
)  e.  om )
1413expcom 426 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  .o  y
)  e.  om  ->  ( ( A  .o  y
)  +o  A )  e.  om ) )
1514adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  e.  om  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A
)  e.  om )
)
16 nnmsuc 6491 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
1716eleq1d 2319 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  suc  y )  e.  om  <->  ( ( A  .o  y
)  +o  A )  e.  om ) )
1815, 17sylibrd 227 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  e.  om  ->  ( A  .o  suc  y )  e.  om ) )
1918expcom 426 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  .o  y
)  e.  om  ->  ( A  .o  suc  y
)  e.  om )
) )
205, 7, 9, 12, 19finds2 4575 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  x )  e.  om ) )
213, 20vtoclga 2787 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  B )  e.  om ) )
2221impcom 421 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3362   suc csuc 4287   omcom 4547  (class class class)co 5710    +o coa 6362    .o comu 6363
This theorem is referenced by:  nnecl  6497  nnmcli  6499  nndi  6507  nnmass  6508  nnmsucr  6509  nnmordi  6515  nnmord  6516  nnmword  6517  omabslem  6530  nnneo  6535  nneob  6536  fin1a2lem4  7913  mulclpi  8397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-oadd 6369  df-omul 6370
  Copyright terms: Public domain W3C validator