Theorem nnmcl 6814

Description: Closure of multiplication of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcl	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )

Proof of Theorem nnmcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A .o x ) = ( A .o B ) )
2	1	eleq1d 2470	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o B ) e. om ) )
3	2	imbi2d 308	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( A .o x ) e. om ) <-> ( A e. om -> ( A .o B ) e. om ) ) )
4		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
5	4	eleq1d 2470	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o (/) ) e. om ) )
6		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A .o x ) = ( A .o y ) )
7	6	eleq1d 2470	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o y ) e. om ) )
8		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A .o x ) = ( A .o suc y ) )
9	8	eleq1d 2470	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o suc y ) e. om ) )
10		nnm0 6807	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
11		peano1 4823	. . . . 5 |- (/) e. om
12	10, 11	syl6eqel 2492	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) e. om )
13		nnacl 6813	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om ) -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om )
14	13	expcom 425	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( A .o y ) e. om -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
15	14	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) e. om -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
16		nnmsuc 6809	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o suc y ) = ( ( A .o y ) +o A ) )
17	16	eleq1d 2470	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) e. om <-> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
18	15, 17	sylibrd 226	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) e. om -> ( A .o suc y ) e. om ) )
19	18	expcom 425	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A .o y ) e. om -> ( A .o suc y ) e. om ) ) )
20	5, 7, 9, 12, 19	finds2 4832	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( A .o x ) e. om ) )
21	3, 20	vtoclga 2977	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A .o B ) e. om ) )
22	21	impcom 420	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   (/)c0 3588   suc csuc 4543   omcom 4804  (class class class)co 6040   +o coa 6680   .o comu 6681

This theorem is referenced by:  nnecl  6815  nnmcli  6817  nndi  6825  nnmass  6826  nnmsucr  6827  nnmordi  6833  nnmord  6834  nnmword  6835  omabslem  6848  nnneo  6853  nneob  6854  fin1a2lem4  8239  mulclpi  8726

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-omul 6688