Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmcom Structured version   Unicode version

Theorem nnmcom 6861
 Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmcom

Proof of Theorem nnmcom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6080 . . . . 5
2 oveq2 6081 . . . . 5
31, 2eqeq12d 2449 . . . 4
43imbi2d 308 . . 3
5 oveq1 6080 . . . . 5
6 oveq2 6081 . . . . 5
75, 6eqeq12d 2449 . . . 4
8 oveq1 6080 . . . . 5
9 oveq2 6081 . . . . 5
108, 9eqeq12d 2449 . . . 4
11 oveq1 6080 . . . . 5
12 oveq2 6081 . . . . 5
1311, 12eqeq12d 2449 . . . 4
14 nnm0r 6845 . . . . 5
15 nnm0 6840 . . . . 5
1614, 15eqtr4d 2470 . . . 4
17 oveq1 6080 . . . . . 6
18 nnmsucr 6860 . . . . . . 7
19 nnmsuc 6842 . . . . . . . 8
2019ancoms 440 . . . . . . 7
2118, 20eqeq12d 2449 . . . . . 6
2217, 21syl5ibr 213 . . . . 5
2322ex 424 . . . 4
247, 10, 13, 16, 23finds2 4865 . . 3
254, 24vtoclga 3009 . 2
2625imp 419 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  c0 3620   csuc 4575  com 4837  (class class class)co 6073   coa 6713   comu 6714 This theorem is referenced by:  nnmwordri  6871  nn2m  6885  omopthlem1  6890  mulcompi  8765 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-omul 6721
 Copyright terms: Public domain W3C validator