Theorem nnmcom 4241

Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81.

Assertion

Ref	Expression
nnmcom	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o B) = (B .o A))

Proof of Theorem nnmcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3968	. . . . 5 |- (x = (/) -> (x .o B) = ((/) .o B))
2		opreq2 3969	. . . . 5 |- (x = (/) -> (B .o x) = (B .o (/)))
3	1, 2	eqeq12d 1489	. . . 4 |- (x = (/) -> ((x .o B) = (B .o x) <-> ((/) .o B) = (B .o (/))))
4	3	imbi2d 612	. . 3 |- (x = (/) -> ((B e. om -> (x .o B) = (B .o x)) <-> (B e. om -> ((/) .o B) = (B .o (/)))))
5		opreq1 3968	. . . . 5 |- (x = y -> (x .o B) = (y .o B))
6		opreq2 3969	. . . . 5 |- (x = y -> (B .o x) = (B .o y))
7	5, 6	eqeq12d 1489	. . . 4 |- (x = y -> ((x .o B) = (B .o x) <-> (y .o B) = (B .o y)))
8	7	imbi2d 612	. . 3 |- (x = y -> ((B e. om -> (x .o B) = (B .o x)) <-> (B e. om -> (y .o B) = (B .o y))))
9		opreq1 3968	. . . . 5 |- (x = suc y -> (x .o B) = (suc y .o B))
10		opreq2 3969	. . . . 5 |- (x = suc y -> (B .o x) = (B .o suc y))
11	9, 10	eqeq12d 1489	. . . 4 |- (x = suc y -> ((x .o B) = (B .o x) <-> (suc y .o B) = (B .o suc y)))
12	11	imbi2d 612	. . 3 |- (x = suc y -> ((B e. om -> (x .o B) = (B .o x)) <-> (B e. om -> (suc y .o B) = (B .o suc y))))
13		opreq1 3968	. . . . 5 |- (x = A -> (x .o B) = (A .o B))
14		opreq2 3969	. . . . 5 |- (x = A -> (B .o x) = (B .o A))
15	13, 14	eqeq12d 1489	. . . 4 |- (x = A -> ((x .o B) = (B .o x) <-> (A .o B) = (B .o A)))
16	15	imbi2d 612	. . 3 |- (x = A -> ((B e. om -> (x .o B) = (B .o x)) <-> (B e. om -> (A .o B) = (B .o A))))
17		nnm0r 4228	. . . 4 |- (B e. om -> ((/) .o B) = (/))
18		nnm0 4224	. . . 4 |- (B e. om -> (B .o (/)) = (/))
19	17, 18	eqtr4d 1510	. . 3 |- (B e. om -> ((/) .o B) = (B .o (/)))
20		nnmsucr 4240	. . . . . . 7 |- ((y e. om /\ B e. om) -> (suc y .o B) = ((y .o B) +o B))
21		nnmsuc 4226	. . . . . . . 8 |- ((B e. om /\ y e. om) -> (B .o suc y) = ((B .o y) +o B))
22	21	ancoms 436	. . . . . . 7 |- ((y e. om /\ B e. om) -> (B .o suc y) = ((B .o y) +o B))
23	20, 22	eqeq12d 1489	. . . . . 6 |- ((y e. om /\ B e. om) -> ((suc y .o B) = (B .o suc y) <-> ((y .o B) +o B) = ((B .o y) +o B)))
24		opreq1 3968	. . . . . 6 |- ((y .o B) = (B .o y) -> ((y .o B) +o B) = ((B .o y) +o B))
25	23, 24	syl5bir 210	. . . . 5 |- ((y e. om /\ B e. om) -> ((y .o B) = (B .o y) -> (suc y .o B) = (B .o suc y)))
26	25	ex 373	. . . 4 |- (y e. om -> (B e. om -> ((y .o B) = (B .o y) -> (suc y .o B) = (B .o suc y))))
27	26	a2d 13	. . 3 |- (y e. om -> ((B e. om -> (y .o B) = (B .o y)) -> (B e. om -> (suc y .o B) = (B .o suc y))))
28	4, 8, 12, 16, 19, 27	finds 3156	. 2 |- (A e. om -> (B e. om -> (A .o B) = (B .o A)))
29	28	imp 350	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o B) = (B .o A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  (/)c0 2280  suc csuc 2950  omcom 3131  (class class class)co 3963   +o coa 4130   .o comu 4131

This theorem is referenced by:  mulcompi 5024

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135  df-omul 4136

Copyright terms: Public domain