MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmcom Unicode version

Theorem nnmcom 6592
Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmcom  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )

Proof of Theorem nnmcom
StepHypRef Expression
1 oveq1 5799 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  .o  B )  =  ( A  .o  B ) )
2 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  A
) )
31, 2eqeq12d 2272 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  .o  B
)  =  ( B  .o  x )  <->  ( A  .o  B )  =  ( B  .o  A ) ) )
43imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  om  ->  ( x  .o  B
)  =  ( B  .o  x ) )  <-> 
( B  e.  om  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) ) ) )
5 oveq1 5799 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  .o  B )  =  ( (/)  .o  B
) )
6 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
75, 6eqeq12d 2272 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  .o  B )  =  ( B  .o  x )  <->  ( (/)  .o  B
)  =  ( B  .o  (/) ) ) )
8 oveq1 5799 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .o  B )  =  ( y  .o  B ) )
9 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
108, 9eqeq12d 2272 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .o  B
)  =  ( B  .o  x )  <->  ( y  .o  B )  =  ( B  .o  y ) ) )
11 oveq1 5799 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  .o  B
)  =  ( suc  y  .o  B ) )
12 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
1311, 12eqeq12d 2272 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  .o  B )  =  ( B  .o  x )  <-> 
( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
) ) )
14 nnm0r 6576 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
.o  B )  =  (/) )
15 nnm0 6571 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  .o  (/) )  =  (/) )
1614, 15eqtr4d 2293 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
.o  B )  =  ( B  .o  (/) ) )
17 oveq1 5799 . . . . . 6  |-  ( ( y  .o  B )  =  ( B  .o  y )  ->  (
( y  .o  B
)  +o  B )  =  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )
18 nnmsucr 6591 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  y  .o  B )  =  ( ( y  .o  B
)  +o  B ) )
19 nnmsuc 6573 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
2019ancoms 441 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
2118, 20eqeq12d 2272 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
)  <->  ( ( y  .o  B )  +o  B )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) ) )
2217, 21syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( y  .o  B )  =  ( B  .o  y )  ->  ( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
) ) )
2322ex 425 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( y  .o  B
)  =  ( B  .o  y )  -> 
( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
) ) ) )
247, 10, 13, 16, 23finds2 4656 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( x  .o  B )  =  ( B  .o  x ) ) )
254, 24vtoclga 2824 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  .o  B )  =  ( B  .o  A ) ) )
2625imp 420 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3430   suc csuc 4366   omcom 4628  (class class class)co 5792    +o coa 6444    .o comu 6445
This theorem is referenced by:  nnmwordri  6602  nn2m  6616  omopthlem1  6621  mulcompi  8488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-oadd 6451  df-omul 6452
  Copyright terms: Public domain W3C validator