MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmord Unicode version

Theorem nnmord 6646
Description: Ordering property of multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 22-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmord  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) )

Proof of Theorem nnmord
StepHypRef Expression
1 nnmordi 6645 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
21ex 423 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
32com23 72 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
43imp3a 420 . . 3  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( A  e.  B  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
543adant1 973 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
6 ne0i 3474 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B )  ->  ( C  .o  B )  =/=  (/) )
7 nnm0r 6624 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
.o  B )  =  (/) )
8 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  (/)  ->  ( C  .o  B )  =  ( (/)  .o  B
) )
98eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  (/)  ->  ( ( C  .o  B )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  B
)  =  (/) ) )
107, 9syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( C  =  (/)  ->  ( C  .o  B )  =  (/) ) )
1110necon3d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  (
( C  .o  B
)  =/=  (/)  ->  C  =/=  (/) ) )
126, 11syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  ->  C  =/=  (/) ) )
1312adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B )  ->  C  =/=  (/) ) )
14 nnord 4680 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  om  ->  Ord  C )
15 ord0eln0 4462 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
C  ->  ( (/)  e.  C  <->  C  =/=  (/) ) )
1614, 15syl 15 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  om  ->  ( (/) 
e.  C  <->  C  =/=  (/) ) )
1716adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  <->  C  =/=  (/) ) )
1813, 17sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B )  ->  (/)  e.  C ) )
19183adant1 973 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  ->  (/) 
e.  C ) )
20 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  ( C  .o  A )  =  ( C  .o  B
) )
2120a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  =  B  ->  ( C  .o  A )  =  ( C  .o  B ) ) )
22 nnmordi 6645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( B  e.  A  ->  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
23223adantl2 1112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( B  e.  A  ->  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
2421, 23orim12d 811 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  (
( C  .o  A
)  =  ( C  .o  B )  \/  ( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) ) ) )
2524con3d 125 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( -.  (
( C  .o  A
)  =  ( C  .o  B )  \/  ( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) )  ->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A ) ) )
26 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  C  e.  om )
27 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  A  e.  om )
28 nnmcl 6626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  .o  A
)  e.  om )
2926, 27, 28syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  om )
30 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  B  e.  om )
31 nnmcl 6626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  .o  B
)  e.  om )
3226, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  B )  e.  om )
33 nnord 4680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  .o  A )  e.  om  ->  Ord  ( C  .o  A
) )
34 nnord 4680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  .o  B )  e.  om  ->  Ord  ( C  .o  B
) )
35 ordtri2 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  ( C  .o  A )  /\  Ord  ( C  .o  B
) )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  <->  -.  (
( C  .o  A
)  =  ( C  .o  B )  \/  ( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) ) ) )
3633, 34, 35syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  .o  A
)  e.  om  /\  ( C  .o  B
)  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B )  <->  -.  ( ( C  .o  A )  =  ( C  .o  B )  \/  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) ) )
3729, 32, 36syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B
)  <->  -.  ( ( C  .o  A )  =  ( C  .o  B
)  \/  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A
) ) ) )
38 nnord 4680 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
39 nnord 4680 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
40 ordtri2 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A ) ) )
4138, 39, 40syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
4227, 30, 41syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A ) ) )
4325, 37, 423imtr4d 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B
)  ->  A  e.  B ) )
4443ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/) 
e.  C  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  ->  A  e.  B )
) )
4544com23 72 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  -> 
( (/)  e.  C  ->  A  e.  B )
) )
4619, 45mpdd 36 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  ->  A  e.  B )
)
4746, 19jcad 519 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  -> 
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C ) ) )
485, 47impbid 183 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   (/)c0 3468   Ord word 4407   omcom 4672  (class class class)co 5874    .o comu 6493
This theorem is referenced by:  nnmword  6647  nnneo  6665  ltmpi  8544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-omul 6500
  Copyright terms: Public domain W3C validator