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Theorem nnmordi 6875
Description: Ordering property of multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 18-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmordi  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )

Proof of Theorem nnmordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 4856 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
21expcom 426 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  om ) )
3 eleq2 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  B ) )
4 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  B
) )
54eleq2d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
63, 5imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  B  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
76imbi2d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x
) ) )  <->  ( (
( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8 eleq2 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  (/) ) )
9 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  (/) ) )
109eleq2d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) ) )
118, 10imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  e.  x  -> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  (/) ) ) ) )
12 eleq2 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
13 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  y
) )
1413eleq2d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) )
1512, 14imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )
16 eleq2 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  e.  x  <->  A  e.  suc  y ) )
17 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  .o  x
)  =  ( C  .o  suc  y ) )
1817eleq2d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  suc  y ) ) )
1916, 18imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) )  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) )
20 noel 3633 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  A  e.  (/)
2120pm2.21i 126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) )
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) ) )
23 elsuci 4648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  suc  y  -> 
( A  e.  y  \/  A  =  y ) )
24 nnmcl 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( C  .o  y
)  e.  om )
25 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  C  e.  om )
2624, 25jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )
)
27 nnaword1 6873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  .o  y
)  C_  ( ( C  .o  y )  +o  C ) )
2827sseld 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
2928imim2d 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) ) )
3029imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C ) ) )
3130adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
32 nna0 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( C  .o  y )  e.  om  ->  (
( C  .o  y
)  +o  (/) )  =  ( C  .o  y
) )
3332ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  y )  +o  (/) )  =  ( C  .o  y ) )
34 nnaordi 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( C  .o  y
)  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( ( C  .o  y )  +o  (/) )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
3534ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( ( C  .o  y )  +o  (/) )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
3635imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  y )  +o  (/) )  e.  (
( C  .o  y
)  +o  C ) )
3733, 36eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) )
38 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  =  ( C  .o  y
) )
3938eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =  y  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C )  <->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4037, 39syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4140adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4231, 41jaod 371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
4326, 42sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
4423, 43syl5 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
45 nnmsuc 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( C  .o  suc  y )  =  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) )
4645eleq2d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4746adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4844, 47sylibrd 227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
) ) )
4948exp43 597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5049com12 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5150adantld 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5251imp3a 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
) ) ) ) )
5311, 15, 19, 22, 52finds2 4874 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x
) ) ) )
547, 53vtoclga 3018 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B
) ) ) )
5554com23 75 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
5655exp4a 591 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
5756exp4a 591 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) ) )
582, 57mpdd 39 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
5958com34 80 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
6059com24 84 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  -> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
6160imp31 423 1  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   (/)c0 3629   suc csuc 4584   omcom 4846  (class class class)co 6082    +o coa 6722    .o comu 6723
This theorem is referenced by:  nnmord  6876  mulclpi  8771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-oadd 6729  df-omul 6730
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