MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmsucr Unicode version

Theorem nnmsucr 6623
Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmsucr  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) )

Proof of Theorem nnmsucr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( suc  A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  B ) )
2 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  B
) )
3 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
42, 3oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  .o  x
)  +o  x )  =  ( ( A  .o  B )  +o  B ) )
51, 4eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x )  <-> 
( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) ) )
65imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x ) )  <->  ( A  e. 
om  ->  ( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) ) ) )
7 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( suc 
A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  (/) ) )
8 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
9 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  x  =  (/) )
108, 9oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  x )  +o  x )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) ) )
117, 10eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( suc  A  .o  x
)  =  ( ( A  .o  x )  +o  x )  <->  ( suc  A  .o  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) ) ) )
12 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( suc  A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  y ) )
13 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
14 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
1513, 14oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  x
)  +o  x )  =  ( ( A  .o  y )  +o  y ) )
1612, 15eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x )  <-> 
( suc  A  .o  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  y ) ) )
17 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  suc  y ) )
18 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
19 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  ->  x  =  suc  y )
2018, 19oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  x )  +o  x
)  =  ( ( A  .o  suc  y
)  +o  suc  y
) )
2117, 20eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x )  <-> 
( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y ) ) )
22 peano2 4676 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
23 nnm0 6603 . . . . . . 7  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  (/) )
2422, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  (/) )
25 nnm0 6603 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
2624, 25eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  ( A  .o  (/) ) )
27 peano1 4675 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
28 nnmcl 6610 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( A  .o  (/) )  e.  om )
2927, 28mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  e.  om )
30 nna0 6602 . . . . . 6  |-  ( ( A  .o  (/) )  e. 
om  ->  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) )  =  ( A  .o  (/) ) )
3129, 30syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  .o  (/) )  +o  (/) )  =  ( A  .o  (/) ) )
3226, 31eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) ) )
33 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( ( suc  A  .o  y
)  =  ( ( A  .o  y )  +o  y )  -> 
( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( ( A  .o  y
)  +o  y )  +o  suc  A ) )
34 peano2b 4672 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
35 nnmsuc 6605 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A ) )
3634, 35sylanb 458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A ) )
37 nnmcl 6610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  y
)  e.  om )
38 peano2b 4672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  <->  suc  y  e. 
om )
39 nnaass 6620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
4038, 39syl3an3b 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  y )  +o  A
)  +o  suc  y
)  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
4137, 40syl3an1 1215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
42413expb 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( A  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( (
( A  .o  y
)  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
4342anidms 626 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
44 nnmsuc 6605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
4544oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y )  =  ( ( ( A  .o  y )  +o  A
)  +o  suc  y
) )
46 nnaass 6620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  y  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  -> 
( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
4734, 46syl3an3b 1220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  y )  +o  y
)  +o  suc  A
)  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
4837, 47syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
49483expb 1152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  om )
)  ->  ( (
( A  .o  y
)  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o  suc  A ) ) )
5049an42s 800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( A  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( (
( A  .o  y
)  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o  suc  A ) ) )
5150anidms 626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
52 nnacom 6615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  y
)  =  ( y  +o  A ) )
53 suceq 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  =  ( y  +o  A )  ->  suc  ( A  +o  y
)  =  suc  (
y  +o  A ) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  suc  ( A  +o  y )  =  suc  ( y  +o  A
) )
55 nnasuc 6604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
56 nnasuc 6604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( y  +o  suc  A )  =  suc  (
y  +o  A ) )
5756ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  suc  A )  =  suc  (
y  +o  A ) )
5854, 55, 573eqtr4d 2325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  ( y  +o  suc  A
) )
5958oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
6051, 59eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
6143, 45, 603eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y )  =  ( ( ( A  .o  y )  +o  y
)  +o  suc  A
) )
6236, 61eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y )  <->  ( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o 
suc  A ) ) )
6333, 62syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  A  .o  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  y )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y ) ) )
6463expcom 424 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( suc  A  .o  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  y )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y ) ) ) )
6511, 16, 21, 32, 64finds2 4684 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  x
)  =  ( ( A  .o  x )  +o  x ) ) )
666, 65vtoclga 2849 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  B
)  =  ( ( A  .o  B )  +o  B ) ) )
6766impcom 419 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   suc csuc 4394   omcom 4656  (class class class)co 5858    +o coa 6476    .o comu 6477
This theorem is referenced by:  nnmcom  6624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-omul 6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator