Theorem nnmsucr 4380

Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82.

Assertion

Ref	Expression
nnmsucr	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (suc A .o B) = ((A .o B) +o B))

Proof of Theorem nnmsucr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4027	. . . . 5 |- (x = (/) -> (suc A .o x) = (suc A .o (/)))
2		opreq2 4027	. . . . . 6 |- (x = (/) -> (A .o x) = (A .o (/)))
3		id 59	. . . . . 6 |- (x = (/) -> x = (/))
4	2, 3	opreq12d 4036	. . . . 5 |- (x = (/) -> ((A .o x) +o x) = ((A .o (/)) +o (/)))
5	1, 4	eqeq12d 1532	. . . 4 |- (x = (/) -> ((suc A .o x) = ((A .o x) +o x) <-> (suc A .o (/)) = ((A .o (/)) +o (/))))
6	5	imbi2d 615	. . 3 |- (x = (/) -> ((A e. om -> (suc A .o x) = ((A .o x) +o x)) <-> (A e. om -> (suc A .o (/)) = ((A .o (/)) +o (/)))))
7		opreq2 4027	. . . . 5 |- (x = y -> (suc A .o x) = (suc A .o y))
8		opreq2 4027	. . . . . 6 |- (x = y -> (A .o x) = (A .o y))
9		id 59	. . . . . 6 |- (x = y -> x = y)
10	8, 9	opreq12d 4036	. . . . 5 |- (x = y -> ((A .o x) +o x) = ((A .o y) +o y))
11	7, 10	eqeq12d 1532	. . . 4 |- (x = y -> ((suc A .o x) = ((A .o x) +o x) <-> (suc A .o y) = ((A .o y) +o y)))
12	11	imbi2d 615	. . 3 |- (x = y -> ((A e. om -> (suc A .o x) = ((A .o x) +o x)) <-> (A e. om -> (suc A .o y) = ((A .o y) +o y))))
13		opreq2 4027	. . . . 5 |- (x = suc y -> (suc A .o x) = (suc A .o suc y))
14		opreq2 4027	. . . . . 6 |- (x = suc y -> (A .o x) = (A .o suc y))
15		id 59	. . . . . 6 |- (x = suc y -> x = suc y)
16	14, 15	opreq12d 4036	. . . . 5 |- (x = suc y -> ((A .o x) +o x) = ((A .o suc y) +o suc y))
17	13, 16	eqeq12d 1532	. . . 4 |- (x = suc y -> ((suc A .o x) = ((A .o x) +o x) <-> (suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y)))
18	17	imbi2d 615	. . 3 |- (x = suc y -> ((A e. om -> (suc A .o x) = ((A .o x) +o x)) <-> (A e. om -> (suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y))))
19		opreq2 4027	. . . . 5 |- (x = B -> (suc A .o x) = (suc A .o B))
20		opreq2 4027	. . . . . 6 |- (x = B -> (A .o x) = (A .o B))
21		id 59	. . . . . 6 |- (x = B -> x = B)
22	20, 21	opreq12d 4036	. . . . 5 |- (x = B -> ((A .o x) +o x) = ((A .o B) +o B))
23	19, 22	eqeq12d 1532	. . . 4 |- (x = B -> ((suc A .o x) = ((A .o x) +o x) <-> (suc A .o B) = ((A .o B) +o B)))
24	23	imbi2d 615	. . 3 |- (x = B -> ((A e. om -> (suc A .o x) = ((A .o x) +o x)) <-> (A e. om -> (suc A .o B) = ((A .o B) +o B))))
25		peano2b 3234	. . . . 5 |- (A e. om <-> suc A e. om)
26		nnm0 4364	. . . . 5 |- (suc A e. om -> (suc A .o (/)) = (/))
27	25, 26	sylbi 197	. . . 4 |- (A e. om -> (suc A .o (/)) = (/))
28		nnm0 4364	. . . . . 6 |- (A e. om -> (A .o (/)) = (/))
29	28	opreq1d 4033	. . . . 5 |- (A e. om -> ((A .o (/)) +o (/)) = ((/) +o (/)))
30		peano1 3237	. . . . . 6 |- (/) e. om
31		nna0 4363	. . . . . 6 |- ((/) e. om -> ((/) +o (/)) = (/))
32	30, 31	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((/) +o (/)) = (/)
33	29, 32	syl6eq 1566	. . . 4 |- (A e. om -> ((A .o (/)) +o (/)) = (/))
34	27, 33	eqtr4d 1553	. . 3 |- (A e. om -> (suc A .o (/)) = ((A .o (/)) +o (/)))
35		nnmsuc 4366	. . . . . . . 8 |- ((suc A e. om /\ y e. om) -> (suc A .o suc y) = ((suc A .o y) +o suc A))
36	35, 25	sylanb 451	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (suc A .o suc y) = ((suc A .o y) +o suc A))
37		nnmsuc 4366	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A .o suc y) = ((A .o y) +o A))
38	37	opreq1d 4033	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A .o suc y) +o suc y) = (((A .o y) +o A) +o suc y))
39		nnacom 4373	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o y) = (y +o A))
40		suceq 3038	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A +o y) = (y +o A) -> suc (A +o y) = suc (y +o A))
41	39, 40	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> suc (A +o y) = suc (y +o A))
42		nnasuc 4365	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o suc y) = suc (A +o y))
43		nnasuc 4365	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. om /\ A e. om) -> (y +o suc A) = suc (y +o A))
44	43	ancoms 438	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (y +o suc A) = suc (y +o A))
45	41, 42, 44	3eqtr4d 1560	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o suc y) = (y +o suc A))
46	45	opreq2d 4034	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A .o y) +o (A +o suc y)) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
47		nnaass 4377	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A .o y) e. om /\ A e. om /\ suc y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
48		peano2b 3234	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. om <-> suc y e. om)
49	47, 48	syl3an3b 870	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A .o y) e. om /\ A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
50		nnmcl 4370	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A .o y) e. om)
51	49, 50	syl3an1 865	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
52	51	3expb 840	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ (A e. om /\ y e. om)) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
53	52	anidms 435	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
54		nnaass 4377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A .o y) e. om /\ y e. om /\ suc A e. om) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
55	54, 25	syl3an3b 870	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A .o y) e. om /\ y e. om /\ A e. om) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
56	55, 50	syl3an1 865	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ y e. om /\ A e. om) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
57	56	3expb 840	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ (y e. om /\ A e. om)) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
58	57	an42s 512	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ (A e. om /\ y e. om)) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
59	58	anidms 435	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
60	46, 53, 59	3eqtr4d 1560	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = (((A .o y) +o y) +o suc A))
61	38, 60	eqtrd 1550	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A .o suc y) +o suc y) = (((A .o y) +o y) +o suc A))
62	36, 61	eqeq12d 1532	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y) <-> ((suc A .o y) +o suc A) = (((A .o y) +o y) +o suc A)))
63		opreq1 4026	. . . . . 6 |- ((suc A .o y) = ((A .o y) +o y) -> ((suc A .o y) +o suc A) = (((A .o y) +o y) +o suc A))
64	62, 63	syl5bir 208	. . . . 5 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((suc A .o y) = ((A .o y) +o y) -> (suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y)))
65	64	expcom 372	. . . 4 |- (y e. om -> (A e. om -> ((suc A .o y) = ((A .o y) +o y) -> (suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y))))
66	65	a2d 13	. . 3 |- (y e. om -> ((A e. om -> (suc A .o y) = ((A .o y) +o y)) -> (A e. om -> (suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y))))
67	6, 12, 18, 24, 34, 66	finds 3244	. 2 |- (B e. om -> (A e. om -> (suc A .o B) = ((A .o B) +o B)))
68	67	impcom 349	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (suc A .o B) = ((A .o B) +o B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  (/)c0 2332  suc csuc 2977  omcom 3218  (class class class)co 4021   +o coa 4266   .o comu 4267

This theorem is referenced by:  nnmcom 4381

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-rdg 4233  df-oadd 4271  df-omul 4272

Copyright terms: Public domain