MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmsucr Unicode version

Theorem nnmsucr 6591
Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmsucr  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) )

Proof of Theorem nnmsucr
StepHypRef Expression
1 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( suc  A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  B ) )
2 oveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  B
) )
3 id 21 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
42, 3oveq12d 5810 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  .o  x
)  +o  x )  =  ( ( A  .o  B )  +o  B ) )
51, 4eqeq12d 2272 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x )  <-> 
( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) ) )
65imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x ) )  <->  ( A  e. 
om  ->  ( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) ) ) )
7 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( suc 
A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  (/) ) )
8 oveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
9 id 21 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  x  =  (/) )
108, 9oveq12d 5810 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  x )  +o  x )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) ) )
117, 10eqeq12d 2272 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( suc  A  .o  x
)  =  ( ( A  .o  x )  +o  x )  <->  ( suc  A  .o  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) ) ) )
12 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( suc  A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  y ) )
13 oveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
14 id 21 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
1513, 14oveq12d 5810 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  x
)  +o  x )  =  ( ( A  .o  y )  +o  y ) )
1612, 15eqeq12d 2272 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x )  <-> 
( suc  A  .o  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  y ) ) )
17 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  suc  y ) )
18 oveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
19 id 21 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  ->  x  =  suc  y )
2018, 19oveq12d 5810 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  x )  +o  x
)  =  ( ( A  .o  suc  y
)  +o  suc  y
) )
2117, 20eqeq12d 2272 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x )  <-> 
( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y ) ) )
22 peano2 4648 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
23 nnm0 6571 . . . . . . 7  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  (/) )
2422, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  (/) )
25 nnm0 6571 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
2624, 25eqtr4d 2293 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  ( A  .o  (/) ) )
27 peano1 4647 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
28 nnmcl 6578 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( A  .o  (/) )  e.  om )
2927, 28mpan2 655 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  e.  om )
30 nna0 6570 . . . . . 6  |-  ( ( A  .o  (/) )  e. 
om  ->  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) )  =  ( A  .o  (/) ) )
3129, 30syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  .o  (/) )  +o  (/) )  =  ( A  .o  (/) ) )
3226, 31eqtr4d 2293 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) ) )
33 oveq1 5799 . . . . . 6  |-  ( ( suc  A  .o  y
)  =  ( ( A  .o  y )  +o  y )  -> 
( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( ( A  .o  y
)  +o  y )  +o  suc  A ) )
34 peano2b 4644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
35 nnmsuc 6573 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A ) )
3634, 35sylanb 460 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A ) )
37 nnmcl 6578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  y
)  e.  om )
38 peano2b 4644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  <->  suc  y  e. 
om )
39 nnaass 6588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
4038, 39syl3an3b 1225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  y )  +o  A
)  +o  suc  y
)  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
4137, 40syl3an1 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
42413expb 1157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( A  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( (
( A  .o  y
)  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
4342anidms 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
44 nnmsuc 6573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
4544oveq1d 5807 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y )  =  ( ( ( A  .o  y )  +o  A
)  +o  suc  y
) )
46 nnaass 6588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  y  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  -> 
( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
4734, 46syl3an3b 1225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  y )  +o  y
)  +o  suc  A
)  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
4837, 47syl3an1 1220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
49483expb 1157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  om )
)  ->  ( (
( A  .o  y
)  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o  suc  A ) ) )
5049an42s 803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( A  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( (
( A  .o  y
)  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o  suc  A ) ) )
5150anidms 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
52 nnacom 6583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  y
)  =  ( y  +o  A ) )
53 suceq 4429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  =  ( y  +o  A )  ->  suc  ( A  +o  y
)  =  suc  (
y  +o  A ) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  suc  ( A  +o  y )  =  suc  ( y  +o  A
) )
55 nnasuc 6572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
56 nnasuc 6572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( y  +o  suc  A )  =  suc  (
y  +o  A ) )
5756ancoms 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  suc  A )  =  suc  (
y  +o  A ) )
5854, 55, 573eqtr4d 2300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  ( y  +o  suc  A
) )
5958oveq2d 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
6051, 59eqtr4d 2293 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
6143, 45, 603eqtr4d 2300 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y )  =  ( ( ( A  .o  y )  +o  y
)  +o  suc  A
) )
6236, 61eqeq12d 2272 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y )  <->  ( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o 
suc  A ) ) )
6333, 62syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  A  .o  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  y )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y ) ) )
6463expcom 426 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( suc  A  .o  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  y )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y ) ) ) )
6511, 16, 21, 32, 64finds2 4656 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  x
)  =  ( ( A  .o  x )  +o  x ) ) )
666, 65vtoclga 2824 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  B
)  =  ( ( A  .o  B )  +o  B ) ) )
6766impcom 421 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3430   suc csuc 4366   omcom 4628  (class class class)co 5792    +o coa 6444    .o comu 6445
This theorem is referenced by:  nnmcom  6592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-oadd 6451  df-omul 6452
  Copyright terms: Public domain W3C validator