HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem nnmulcl 6086
Description: Closure of multiplication of natural numbers.
Assertion
Ref Expression
nnmulcl |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A x. B) e. NN)
Proof of Theorem nnmulcl
StepHypRef Expression
1 opreq2 4027 . . . . 5 |- (x = 1 -> (A x. x) = (A x. 1))
21eleq1d 1583 . . . 4 |- (x = 1 -> ((A x. x) e. NN <-> (A x. 1) e. NN))
32imbi2d 615 . . 3 |- (x = 1 -> ((A e. NN -> (A x. x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A x. 1) e. NN)))
4 opreq2 4027 . . . . 5 |- (x = y -> (A x. x) = (A x. y))
54eleq1d 1583 . . . 4 |- (x = y -> ((A x. x) e. NN <-> (A x. y) e. NN))
65imbi2d 615 . . 3 |- (x = y -> ((A e. NN -> (A x. x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A x. y) e. NN)))
7 opreq2 4027 . . . . 5 |- (x = (y + 1) -> (A x. x) = (A x. (y + 1)))
87eleq1d 1583 . . . 4 |- (x = (y + 1) -> ((A x. x) e. NN <-> (A x. (y + 1)) e. NN))
98imbi2d 615 . . 3 |- (x = (y + 1) -> ((A e. NN -> (A x. x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A x. (y + 1)) e. NN)))
10 opreq2 4027 . . . . 5 |- (x = B -> (A x. x) = (A x. B))
1110eleq1d 1583 . . . 4 |- (x = B -> ((A x. x) e. NN <-> (A x. B) e. NN))
1211imbi2d 615 . . 3 |- (x = B -> ((A e. NN -> (A x. x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A x. B) e. NN)))
13 nncn 6075 . . . 4 |- (A e. NN -> A e. CC)
14 ax1id 5436 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
1514eleq1d 1583 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((A x. 1) e. NN <-> A e. NN))
1615biimprd 152 . . . 4 |- (A e. CC -> (A e. NN -> (A x. 1) e. NN))
1713, 16mpcom 49 . . 3 |- (A e. NN -> (A x. 1) e. NN)
18 ax1cn 5423 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
19 adddi 5463 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC) -> (A x. (y + 1)) = ((A x. y) + (A x. 1)))
2018, 19mp3an3 911 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> (A x. (y + 1)) = ((A x. y) + (A x. 1)))
2114opreq2d 4034 . . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> ((A x. y) + (A x. 1)) = ((A x. y) + A))
2221adantr 389 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> ((A x. y) + (A x. 1)) = ((A x. y) + A))
2320, 22eqtrd 1550 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> (A x. (y + 1)) = ((A x. y) + A))
24 nncn 6075 . . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> y e. CC)
2523, 13, 24syl2an 456 . . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> (A x. (y + 1)) = ((A x. y) + A))
2625eleq1d 1583 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> ((A x. (y + 1)) e. NN <-> ((A x. y) + A) e. NN))
27 nnaddcl 6085 . . . . . . . 8 |- (((A x. y) e. NN /\ A e. NN) -> ((A x. y) + A) e. NN)
2827ancoms 438 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ (A x. y) e. NN) -> ((A x. y) + A) e. NN)
2926, 28syl5bir 208 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> ((A e. NN /\ (A x. y) e. NN) -> (A x. (y + 1)) e. NN))
3029exp4b 379 . . . . 5 |- (A e. NN -> (y e. NN -> (A e. NN -> ((A x. y) e. NN -> (A x. (y + 1)) e. NN))))
3130pm2.43b 67 . . . 4 |- (y e. NN -> (A e. NN -> ((A x. y) e. NN -> (A x. (y + 1)) e. NN)))
3231a2d 13 . . 3 |- (y e. NN -> ((A e. NN -> (A x. y) e. NN) -> (A e. NN -> (A x. (y + 1)) e. NN)))
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 6082 . 2 |- (B e. NN -> (A e. NN -> (A x. B) e. NN))
3433impcom 349 1 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A x. B) e. NN)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  (class class class)co 4021  CCcc 5386  1c1 5389   + caddc 5391   x. cmul 5393  NNcn 5450
This theorem is referenced by:  nndivtr 6106  nn0mulcli 6290  qaddcl 6408  qmulcl 6410  modmulnn 6469  nnexpcl 6771  nnesqi 6863  faccl 7143  facdiv 7145  faclbnd3 7150  faclbnd4lem3 7153  faclbnd5 7156  bcpasc2i 7170  permnn 7176  efaddlem3 7545  efaddlem5 7547  efaddlem7 7549  efaddlem12 7554  efaddlem15 7557  efaddlem17 7559  efaddlem19 7561  efaddlem21 7563  efaddlem22 7564  efaddlem25 7567  eftlubcl 7581  ef1tllem 7586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770
This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-sub 5510  df-neg 5512  df-n 6070
Copyright terms: Public domain