HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem nnmulclt 5889
Description: Closure of multiplication of natural numbers.
Assertion
Ref Expression
nnmulclt |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A x. B) e. NN)
Proof of Theorem nnmulclt
StepHypRef Expression
1 opreq2 3954 . . . . 5 |- (x = 1 -> (A x. x) = (A x. 1))
21eleq1d 1532 . . . 4 |- (x = 1 -> ((A x. x) e. NN <-> (A x. 1) e. NN))
32imbi2d 610 . . 3 |- (x = 1 -> ((A e. NN -> (A x. x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A x. 1) e. NN)))
4 opreq2 3954 . . . . 5 |- (x = y -> (A x. x) = (A x. y))
54eleq1d 1532 . . . 4 |- (x = y -> ((A x. x) e. NN <-> (A x. y) e. NN))
65imbi2d 610 . . 3 |- (x = y -> ((A e. NN -> (A x. x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A x. y) e. NN)))
7 opreq2 3954 . . . . 5 |- (x = (y + 1) -> (A x. x) = (A x. (y + 1)))
87eleq1d 1532 . . . 4 |- (x = (y + 1) -> ((A x. x) e. NN <-> (A x. (y + 1)) e. NN))
98imbi2d 610 . . 3 |- (x = (y + 1) -> ((A e. NN -> (A x. x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A x. (y + 1)) e. NN)))
10 opreq2 3954 . . . . 5 |- (x = B -> (A x. x) = (A x. B))
1110eleq1d 1532 . . . 4 |- (x = B -> ((A x. x) e. NN <-> (A x. B) e. NN))
1211imbi2d 610 . . 3 |- (x = B -> ((A e. NN -> (A x. x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A x. B) e. NN)))
13 nncnt 5878 . . . 4 |- (A e. NN -> A e. CC)
14 ax1id 5254 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
1514eleq1d 1532 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((A x. 1) e. NN <-> A e. NN))
1615biimprd 154 . . . 4 |- (A e. CC -> (A e. NN -> (A x. 1) e. NN))
1713, 16mpcom 49 . . 3 |- (A e. NN -> (A x. 1) e. NN)
18 ax1cn 5241 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
19 axdistr 5251 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC) -> (A x. (y + 1)) = ((A x. y) + (A x. 1)))
2018, 19mp3an3 902 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> (A x. (y + 1)) = ((A x. y) + (A x. 1)))
2114opreq2d 3961 . . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> ((A x. y) + (A x. 1)) = ((A x. y) + A))
2221adantr 389 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> ((A x. y) + (A x. 1)) = ((A x. y) + A))
2320, 22eqtrd 1499 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> (A x. (y + 1)) = ((A x. y) + A))
24 nncnt 5878 . . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> y e. CC)
2523, 13, 24syl2an 454 . . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> (A x. (y + 1)) = ((A x. y) + A))
2625eleq1d 1532 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> ((A x. (y + 1)) e. NN <-> ((A x. y) + A) e. NN))
27 nnaddclt 5888 . . . . . . . 8 |- (((A x. y) e. NN /\ A e. NN) -> ((A x. y) + A) e. NN)
2827ancoms 436 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ (A x. y) e. NN) -> ((A x. y) + A) e. NN)
2926, 28syl5bir 210 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> ((A e. NN /\ (A x. y) e. NN) -> (A x. (y + 1)) e. NN))
3029exp4b 379 . . . . 5 |- (A e. NN -> (y e. NN -> (A e. NN -> ((A x. y) e. NN -> (A x. (y + 1)) e. NN))))
3130pm2.43b 67 . . . 4 |- (y e. NN -> (A e. NN -> ((A x. y) e. NN -> (A x. (y + 1)) e. NN)))
3231a2d 13 . . 3 |- (y e. NN -> ((A e. NN -> (A x. y) e. NN) -> (A e. NN -> (A x. (y + 1)) e. NN)))
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 5885 . 2 |- (B e. NN -> (A e. NN -> (A x. B) e. NN))
3433impcom 351 1 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A x. B) e. NN)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (class class class)co 3948  CCcc 5204  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211  NNcn 5268
This theorem is referenced by:  nndivtrt 5907  nn0mulcl 6069  qaddclt 6207  qmulclt 6209  nnexpclt 6508  nnesq 6592  facclt 6877  facdivt 6879  faclbnd3 6884  faclbnd4lem3 6887  faclbnd5 6890  bcpasc2 6905  permnnt 6911  efaddlem3 7282  efaddlem5 7284  efaddlem7 7286  efaddlem12 7291  efaddlem15 7294  efaddlem17 7296  efaddlem19 7298  efaddlem21 7300  efaddlem22 7301  efaddlem25 7304  eftlubclt 7318  ef1tllem 7323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-n 5873
Copyright terms: Public domain