MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmword Unicode version

Theorem nnmword 6812
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmword  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  C_  B 
<->  ( C  .o  A
)  C_  ( C  .o  B ) ) )

Proof of Theorem nnmword
StepHypRef Expression
1 iba 490 . . . 4  |-  ( (/)  e.  C  ->  ( B  e.  A  <->  ( B  e.  A  /\  (/)  e.  C
) ) )
2 nnmord 6811 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( B  e.  A  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) ) )
323com12 1157 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( B  e.  A  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) ) )
41, 3sylan9bbr 682 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( B  e.  A  <->  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
54notbid 286 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( -.  B  e.  A  <->  -.  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
6 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  A  e.  om )
7 nnon 4791 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  A  e.  On )
9 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  B  e.  om )
10 nnon 4791 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  B  e.  On )
12 ontri1 4556 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
138, 11, 12syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  C_  B 
<->  -.  B  e.  A
) )
14 simpl3 962 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  C  e.  om )
15 nnmcl 6791 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  .o  A
)  e.  om )
1614, 6, 15syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  om )
17 nnon 4791 . . . 4  |-  ( ( C  .o  A )  e.  om  ->  ( C  .o  A )  e.  On )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  On )
19 nnmcl 6791 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  .o  B
)  e.  om )
2014, 9, 19syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  B )  e.  om )
21 nnon 4791 . . . 4  |-  ( ( C  .o  B )  e.  om  ->  ( C  .o  B )  e.  On )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  B )  e.  On )
23 ontri1 4556 . . 3  |-  ( ( ( C  .o  A
)  e.  On  /\  ( C  .o  B
)  e.  On )  ->  ( ( C  .o  A )  C_  ( C  .o  B
)  <->  -.  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
2418, 22, 23syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  A )  C_  ( C  .o  B
)  <->  -.  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
255, 13, 243bitr4d 277 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  C_  B 
<->  ( C  .o  A
)  C_  ( C  .o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717    C_ wss 3263   (/)c0 3571   Oncon0 4522   omcom 4785  (class class class)co 6020    .o comu 6658
This theorem is referenced by:  nnmcan  6813  nnmwordi  6814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-oadd 6664  df-omul 6665
  Copyright terms: Public domain W3C validator