MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmword Structured version   Unicode version

Theorem nnmword 6905
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmword  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  C_  B 
<->  ( C  .o  A
)  C_  ( C  .o  B ) ) )

Proof of Theorem nnmword
StepHypRef Expression
1 iba 491 . . . 4  |-  ( (/)  e.  C  ->  ( B  e.  A  <->  ( B  e.  A  /\  (/)  e.  C
) ) )
2 nnmord 6904 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( B  e.  A  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) ) )
323com12 1158 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( B  e.  A  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) ) )
41, 3sylan9bbr 683 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( B  e.  A  <->  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
54notbid 287 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( -.  B  e.  A  <->  -.  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
6 simpl1 961 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  A  e.  om )
7 nnon 4880 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  A  e.  On )
9 simpl2 962 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  B  e.  om )
10 nnon 4880 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  B  e.  On )
12 ontri1 4644 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
138, 11, 12syl2anc 644 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  C_  B 
<->  -.  B  e.  A
) )
14 simpl3 963 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  C  e.  om )
15 nnmcl 6884 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  .o  A
)  e.  om )
1614, 6, 15syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  om )
17 nnon 4880 . . . 4  |-  ( ( C  .o  A )  e.  om  ->  ( C  .o  A )  e.  On )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  On )
19 nnmcl 6884 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  .o  B
)  e.  om )
2014, 9, 19syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  B )  e.  om )
21 nnon 4880 . . . 4  |-  ( ( C  .o  B )  e.  om  ->  ( C  .o  B )  e.  On )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  B )  e.  On )
23 ontri1 4644 . . 3  |-  ( ( ( C  .o  A
)  e.  On  /\  ( C  .o  B
)  e.  On )  ->  ( ( C  .o  A )  C_  ( C  .o  B
)  <->  -.  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
2418, 22, 23syl2anc 644 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  A )  C_  ( C  .o  B
)  <->  -.  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
255, 13, 243bitr4d 278 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  C_  B 
<->  ( C  .o  A
)  C_  ( C  .o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1727    C_ wss 3306   (/)c0 3613   Oncon0 4610   omcom 4874  (class class class)co 6110    .o comu 6751
This theorem is referenced by:  nnmcan  6906  nnmwordi  6907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-oadd 6757  df-omul 6758
  Copyright terms: Public domain W3C validator