MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnre Unicode version

Theorem nnre 9991
Description: A natural number is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnre  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nnre
StepHypRef Expression
1 nnssre 9988 . 2  |-  NN  C_  RR
21sseli 3331 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   RRcr 8973   NNcn 9984
This theorem is referenced by:  nnrei  9993  nn2ge  10009  nnge1  10010  nngt1ne1  10011  nnle1eq1  10012  nngt0  10013  nnnlt1  10014  nndivre  10019  nnrecgt0  10021  nnsub  10022  nnunb  10201  arch  10202  nnrecl  10203  bndndx  10204  nnnegz  10269  elnnz  10276  elz2  10282  gtndiv  10331  prime  10334  btwnz  10356  indstr  10529  qre  10563  rpnnen1lem1  10584  rpnnen1lem2  10585  rpnnen1lem3  10586  rpnnen1lem5  10588  nnrp  10605  qbtwnre  10769  quoremz  11219  quoremnn0  11220  quoremnn0ALT  11221  intfracq  11223  fldiv  11224  modmulnn  11248  nnlesq  11467  digit2  11495  digit1  11496  facdiv  11561  facndiv  11562  faclbnd  11564  faclbnd3  11566  faclbnd4lem4  11570  faclbnd5  11572  bcval5  11592  seqcoll  11695  isercolllem1  12441  harmonic  12621  efaddlem  12678  rpnnen2lem9  12805  rpnnen2  12808  sqr2irr  12831  nndivdvds  12841  dvdsle  12878  dvdseq  12880  fzm1ndvds  12884  divalg2  12908  divalgmod  12909  ndvdsadd  12911  modgcd  13019  gcdmultiple  13033  gcdmultiplez  13034  gcdeq  13035  sqgcd  13041  dvdssqlem  13042  isprm3  13071  qredeq  13089  qredeu  13090  isprm5  13095  divdenle  13124  phibndlem  13142  eulerthlem2  13154  oddprm  13172  pythagtriplem10  13177  pythagtriplem12  13183  pythagtriplem14  13185  pythagtriplem16  13187  pythagtriplem19  13190  pclem  13195  pc2dvds  13235  pcmpt  13244  fldivp1  13249  pcbc  13252  infpnlem1  13261  infpn2  13264  prmreclem1  13267  prmreclem3  13269  vdwlem3  13334  ram0  13373  mulgnegnn  14883  odmodnn0  15161  gexdvds  15201  sylow3lem6  15249  prmirredlem  16756  znidomb  16825  ovolunlem1a  19375  ovoliunlem2  19382  ovolicc2lem3  19398  ovolicc2lem4  19399  iundisj2  19426  dyadss  19469  volsup2  19480  volivth  19482  vitali  19488  ismbf3d  19529  mbfi1fseqlem3  19592  mbfi1fseqlem4  19593  mbfi1fseqlem5  19594  itg2seq  19617  itg2gt0  19635  itg2cnlem1  19636  plyeq0lem  20112  dgreq0  20166  dgrcolem2  20175  elqaalem2  20220  elqaalem3  20221  logtayllem  20533  leibpi  20765  birthdaylem3  20775  basellem1  20846  basellem2  20847  basellem3  20848  basellem6  20851  basellem9  20854  prmorcht  20944  dvdsdivcl  20949  dvdsflsumcom  20956  muinv  20961  vmalelog  20972  chtublem  20978  logfac2  20984  logfaclbnd  20989  pcbcctr  21043  bcmono  21044  bposlem1  21051  bposlem5  21055  bposlem6  21056  bpos  21060  lgsval4a  21085  lgsquadlem1  21121  lgsquadlem2  21122  dchrisum0re  21190  dchrisum0lem1  21193  logdivbnd  21233  ostth2lem1  21295  ostth2lem3  21312  gxnn0neg  21834  gxmodid  21850  nmounbseqi  22261  nmounbseqiOLD  22262  nmobndseqi  22263  nmobndseqiOLD  22264  ubthlem1  22355  minvecolem3  22361  lnconi  23519  iundisj2f  24013  esumpmono  24452  zetacvg  24782  eldmgm  24789  subfaclim  24857  subfacval3  24858  snmlff  24999  fz0n  25185  nndivsub  26150  nndivlub  26151  mblfinlem  26185  nn0prpwlem  26257  nn0prpw  26258  fzmul  26376  incsequz  26384  nnubfi  26386  nninfnub  26387  irrapxlem1  26817  irrapxlem2  26818  pellexlem1  26824  pellexlem5  26828  pellqrex  26874  monotoddzzfi  26937  jm2.24nn  26956  congabseq  26971  acongrep  26977  acongeq  26980  expdiophlem1  27024  idomrootle  27421  idomodle  27422  hashgcdlem  27426  fmuldfeq  27622  stoweidlem14  27672  stoweidlem17  27675  stoweidlem20  27678  stoweidlem49  27707  stoweidlem60  27718  wallispilem3  27725  wallispilem4  27726  wallispilem5  27727  wallispi  27728  wallispi2lem1  27729  wallispi2lem2  27730  stirlinglem1  27732  stirlinglem3  27734  stirlinglem4  27735  stirlinglem6  27737  stirlinglem7  27738  stirlinglem10  27741  stirlinglem11  27742  stirlinglem12  27743  stirlinglem13  27744  stirlingr  27748  0mnnnnn0  28013  fzo1fzo0n0  28030  swrdccatin12lem3c  28065  swrdccatin12lem3  28066  swrdccatin12lem4  28067  swrdccatin12  28068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-nn 9985
  Copyright terms: Public domain W3C validator