MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnre Unicode version

Theorem nnre 9749
Description: A natural number is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnre  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nnre
StepHypRef Expression
1 nnssre 9746 . 2  |-  NN  C_  RR
21sseli 3178 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1685   RRcr 8732   NNcn 9742
This theorem is referenced by:  nnrei  9751  nn2ge  9767  nnge1  9768  nngt1ne1  9769  nnle1eq1  9770  nngt0  9771  nnnlt1  9772  nndivre  9777  nnrecgt0  9779  nnsub  9780  nnunb  9957  arch  9958  nnrecl  9959  bndndx  9960  nnnegz  10023  elnnz  10030  elz2  10036  gtndiv  10085  prime  10088  btwnz  10110  indstr  10283  qre  10317  rpnnen1lem1  10338  rpnnen1lem2  10339  rpnnen1lem3  10340  rpnnen1lem5  10342  nnrp  10359  qbtwnre  10521  quoremz  10954  quoremnn0ALT  10955  quoremnn0  10956  intfracq  10958  fldiv  10959  modmulnn  10983  nnlesq  11201  digit2  11229  digit1  11230  facdiv  11295  facndiv  11296  faclbnd  11298  faclbnd3  11300  faclbnd4lem4  11304  faclbnd5  11306  bcval5  11325  seqcoll  11396  isercolllem1  12133  harmonic  12312  efaddlem  12369  rpnnen2lem9  12496  rpnnen2  12499  sqr2irr  12522  nndivdvds  12532  dvdsle  12569  dvdseq  12571  fzm1ndvds  12575  divalg2  12599  divalgmod  12600  ndvdsadd  12602  modgcd  12710  gcdmultiple  12724  gcdmultiplez  12725  gcdeq  12726  sqgcd  12732  dvdssqlem  12733  isprm3  12762  qredeq  12780  qredeu  12781  isprm5  12786  divdenle  12815  phibndlem  12833  eulerthlem2  12845  oddprm  12863  pythagtriplem10  12868  pythagtriplem12  12874  pythagtriplem14  12876  pythagtriplem16  12878  pythagtriplem19  12881  pclem  12886  pc2dvds  12926  pcmpt  12935  fldivp1  12940  pcbc  12943  infpnlem1  12952  infpn2  12955  prmreclem1  12958  prmreclem3  12960  vdwlem3  13025  ram0  13064  mulgnegnn  14572  odmodnn0  14850  gexdvds  14890  sylow3lem6  14938  prmirredlem  16441  znidomb  16510  ovolunlem1a  18850  ovoliunlem2  18857  ovolicc2lem3  18873  ovolicc2lem4  18874  iundisj2  18901  dyadss  18944  volsup2  18955  volivth  18957  vitali  18963  ismbf3d  19004  mbfi1fseqlem3  19067  mbfi1fseqlem4  19068  mbfi1fseqlem5  19069  itg2seq  19092  itg2gt0  19110  itg2cnlem1  19111  plyeq0lem  19587  dgreq0  19641  dgrcolem2  19650  elqaalem2  19695  elqaalem3  19696  logtayllem  20001  leibpi  20233  birthdaylem3  20243  basellem1  20313  basellem2  20314  basellem3  20315  basellem6  20318  basellem9  20321  prmorcht  20411  dvdsdivcl  20416  dvdsflsumcom  20423  muinv  20428  vmalelog  20439  chtublem  20445  logfac2  20451  logfaclbnd  20456  pcbcctr  20510  bcmono  20511  bposlem1  20518  bposlem5  20522  bposlem6  20523  bpos  20527  lgsval4a  20552  lgsquadlem1  20588  lgsquadlem2  20589  dchrisum0re  20657  dchrisum0lem1  20660  logdivbnd  20700  ostth2lem1  20762  ostth2lem3  20779  gxnn0neg  20923  gxmodid  20939  nmounbseqi  21348  nmounbseqiOLD  21349  nmobndseqi  21350  nmobndseqiOLD  21351  ubthlem1  21442  minvecolem3  21448  lnconi  22606  zetacvg  23094  eldmgm  23099  subfaclim  23124  subfacval3  23125  snmlff  23317  fz0n  23501  nndivsub  24304  nndivlub  24305  nn0prpwlem  25638  nn0prpw  25639  fzmul  25843  incsequz  25858  nnubfi  25860  nninfnub  25861  irrapxlem1  26307  irrapxlem2  26308  pellexlem1  26314  pellexlem5  26318  pellqrex  26364  monotoddzzfi  26427  jm2.24nn  26446  congabseq  26461  acongrep  26467  acongeq  26470  expdiophlem1  26514  idomrootle  26911  idomodle  26912  hashgcdlem  26916  rfcnnnub  27107  fmuldfeq  27113  stoweidlem1  27150  stoweidlem3  27152  stoweidlem11  27160  stoweidlem14  27163  stoweidlem17  27166  stoweidlem20  27169  stoweidlem25  27174  stoweidlem26  27175  stoweidlem30  27179  stoweidlem34  27183  stoweidlem38  27187  stoweidlem42  27191  stoweidlem44  27193  stoweidlem49  27198  stoweidlem51  27200  stoweidlem60  27209  wallispilem3  27216  wallispilem4  27217  wallispilem5  27218  wallispi  27219  wallispi2lem1  27220  wallispi2lem2  27221  stirlinglem1  27223  stirlinglem3  27225  stirlinglem4  27226  stirlinglem6  27228  stirlinglem7  27229  stirlinglem10  27232  stirlinglem11  27233  stirlinglem12  27234  stirlinglem13  27235  stirlingr  27239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-nn 9743
  Copyright terms: Public domain W3C validator