MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecl Unicode version

Theorem nnrecl 9930
Description: There exists a natural number whose reciprocal is less than a given positive real. Exercise 3 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnrecl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  A )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem nnrecl
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  e.  RR )
2 gt0ne0 9207 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
31, 2rereccld 9555 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
4 arch 9929 . . 3  |-  ( ( 1  /  A )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  A )  <  n
)
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  A
)  <  n )
6 recgt0 9568 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <  ( 1  /  A ) )
73, 6jca 520 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  A ) ) )
8 nnre 9721 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
9 nngt0 9743 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  n )
108, 9jca 520 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
11 ltrec 9605 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  A ) )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )  -> 
( ( 1  /  A )  <  n  <->  ( 1  /  n )  <  ( 1  / 
( 1  /  A
) ) ) )
127, 10, 11syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A )  < 
n  <->  ( 1  /  n )  <  (
1  /  ( 1  /  A ) ) ) )
13 recn 8795 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1413adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  e.  CC )
1514, 2recrecd 9501 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
1615breq2d 4009 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( ( 1  /  n )  <  (
1  /  ( 1  /  A ) )  <-> 
( 1  /  n
)  <  A )
)
1716adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  < 
( 1  /  (
1  /  A ) )  <->  ( 1  /  n )  <  A
) )
1812, 17bitrd 246 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A )  < 
n  <->  ( 1  /  n )  <  A
) )
1918rexbidva 2535 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( E. n  e.  NN  ( 1  /  A )  <  n  <->  E. n  e.  NN  (
1  /  n )  <  A ) )
205, 19mpbid 203 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1621   E.wrex 2519   class class class wbr 3997  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705   1c1 8706    < clt 8835    / cdiv 9391   NNcn 9714
This theorem is referenced by:  qbtwnre  10492  met1stc  18029  met2ndci  18030  bcthlem4  18711  ismbf3d  18971  itg2seq  19059  itg2gt0  19077
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715
  Copyright terms: Public domain W3C validator