MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecl Unicode version

Theorem nnrecl 9963
Description: There exists a natural number whose reciprocal is less than a given positive real. Exercise 3 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnrecl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  A )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem nnrecl
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  e.  RR )
2 gt0ne0 9239 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
31, 2rereccld 9587 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
4 arch 9962 . . 3  |-  ( ( 1  /  A )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  A )  <  n
)
53, 4syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  A
)  <  n )
6 recgt0 9600 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <  ( 1  /  A ) )
73, 6jca 518 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  A ) ) )
8 nnre 9753 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
9 nngt0 9775 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  n )
108, 9jca 518 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
11 ltrec 9637 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  A ) )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )  -> 
( ( 1  /  A )  <  n  <->  ( 1  /  n )  <  ( 1  / 
( 1  /  A
) ) ) )
127, 10, 11syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A )  < 
n  <->  ( 1  /  n )  <  (
1  /  ( 1  /  A ) ) ) )
13 recn 8827 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1413adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  e.  CC )
1514, 2recrecd 9533 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
1615breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( ( 1  /  n )  <  (
1  /  ( 1  /  A ) )  <-> 
( 1  /  n
)  <  A )
)
1716adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  < 
( 1  /  (
1  /  A ) )  <->  ( 1  /  n )  <  A
) )
1812, 17bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A )  < 
n  <->  ( 1  /  n )  <  A
) )
1918rexbidva 2560 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( E. n  e.  NN  ( 1  /  A )  <  n  <->  E. n  e.  NN  (
1  /  n )  <  A ) )
205, 19mpbid 201 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    / cdiv 9423   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  qbtwnre  10526  met1stc  18067  met2ndci  18068  bcthlem4  18749  ismbf3d  19009  itg2seq  19097  itg2gt0  19115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator