MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnred Unicode version

Theorem nnred 9777
Description: A natural number is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnred  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nnred
StepHypRef Expression
1 nnssre 9766 . 2  |-  NN  C_  RR
2 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
31, 2sseldi 3191 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   RRcr 8752   NNcn 9762
This theorem is referenced by:  uzwo3  10327  modmulnn  11004  bernneq3  11245  expmulnbnd  11249  facwordi  11318  faclbnd  11319  faclbnd2  11320  faclbnd3  11321  faclbnd5  11327  faclbnd6  11328  facubnd  11329  facavg  11330  bcp1nk  11345  hashf1  11411  swrds2  11576  isercolllem1  12154  isercoll  12157  o1fsum  12287  climcndslem1  12324  climcndslem2  12325  climcnds  12326  eftabs  12373  efcllem  12375  ege2le3  12387  efcj  12389  eftlub  12405  eflegeo  12417  eirrlem  12498  fzm1ndvds  12596  bitsfzolem  12641  bitsfzo  12642  bitsinv1lem  12648  sadcaddlem  12664  smueqlem  12697  bezoutlem3  12735  bezoutlem4  12736  sqgcd  12753  prmind2  12785  coprm  12795  prmfac1  12813  divdenle  12836  qnumgt0  12837  zsqrelqelz  12845  hashdvds  12859  eulerthlem2  12866  odzdvds  12876  pythagtriplem11  12894  pythagtriplem13  12896  pythagtriplem19  12902  pclem  12907  pcpre1  12911  pcidlem  12940  pcadd  12953  pcmpt  12956  pcmpt2  12957  pcfaclem  12962  pcfac  12963  qexpz  12965  pockthlem  12968  pockthg  12969  prmreclem1  12979  prmreclem3  12981  prmreclem4  12982  prmreclem5  12983  1arithlem4  12989  1arith  12990  4sqlem5  13005  4sqlem6  13006  4sqlem10  13010  mul4sqlem  13016  4sqlem11  13018  4sqlem12  13019  4sqlem13  13020  4sqlem14  13021  4sqlem15  13022  4sqlem16  13023  4sqlem17  13024  vdwlem1  13044  vdwlem3  13046  vdwlem6  13049  vdwlem9  13052  vdwlem10  13053  vdwlem12  13055  vdwnnlem3  13060  ramub1lem1  13089  2expltfac  13121  mndodconglem  14872  oddvds  14878  sylow1lem1  14925  sylow1lem5  14929  fislw  14952  efgredlem  15072  gexexlem  15160  zlpirlem3  16459  prmirredlem  16462  lebnumii  18480  lmnn  18705  ovolunlem1a  18871  ovoliunlem1  18877  ovolicc2lem3  18894  ovolicc2lem4  18895  iundisj  18921  voliunlem1  18923  uniioombllem3  18956  dyadf  18962  dyadovol  18964  dyaddisjlem  18966  dyadmaxlem  18968  opnmbllem  18972  vitalilem4  18982  mbfi1fseqlem1  19086  mbfi1fseqlem3  19088  mbfi1fseqlem4  19089  mbfi1fseqlem5  19090  mbfi1fseqlem6  19091  itg2gt0  19131  itg2cnlem2  19133  dgreq0  19662  dgrco  19672  elqaalem2  19716  aaliou3lem2  19739  aaliou3lem8  19741  aaliou3lem9  19746  leibpi  20254  log2tlbnd  20257  birthdaylem3  20264  amgm  20301  emcllem2  20306  harmonicbnd4  20320  wilthlem1  20322  ftalem5  20330  basellem1  20334  basellem2  20335  basellem3  20336  basellem4  20337  basellem5  20338  basellem6  20339  basellem8  20341  chtge0  20366  chtwordi  20410  vma1  20420  dvdsdivcl  20437  dvdsflf1o  20443  dvdsflsumcom  20444  fsumfldivdiaglem  20445  sgmmul  20456  chtublem  20466  fsumvma2  20469  logfac2  20472  chpchtsum  20474  chpub  20475  logfaclbnd  20477  logexprlim  20480  mersenne  20482  perfectlem2  20485  dchrelbas4  20498  bposlem1  20539  bposlem2  20540  bposlem3  20541  bposlem4  20542  bposlem5  20543  bposlem6  20544  bposlem7  20545  bposlem9  20547  lgslem1  20551  lgslem4  20554  lgsval2lem  20561  lgsdirprm  20584  lgsdir  20585  lgsne0  20588  lgsqrlem2  20597  lgseisenlem1  20604  lgseisenlem2  20605  lgseisenlem3  20606  lgseisenlem4  20607  lgseisen  20608  lgsquadlem1  20609  lgsquadlem2  20610  lgsquadlem3  20611  m1lgs  20617  2sqlem3  20621  2sqlem8  20627  2sqblem  20632  chebbnd1lem1  20634  chebbnd1lem3  20636  chtppilimlem1  20638  rplogsumlem1  20649  rplogsumlem2  20650  dchrisum0lem1a  20651  rpvmasumlem  20652  dchrisumlema  20653  dchrisumlem1  20654  dchrisumlem2  20655  dchrisumlem3  20656  dchrvmasumiflem1  20666  dchrisum0flblem2  20674  dchrisum0re  20678  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem1  20681  dirith2  20693  selbergb  20714  selberg2lem  20715  logdivbnd  20721  selberg3lem2  20723  selberg4lem1  20725  pntrsumo1  20730  pntrsumbnd2  20732  pntrlog2bndlem1  20742  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem3  20744  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem5  20746  pntpbnd1a  20750  pntpbnd1  20751  pntibndlem2a  20755  pntibndlem2  20756  pntlemg  20763  pntlemh  20764  pntlemj  20768  pntlemf  20770  ostth2lem1  20783  padicabvf  20796  padicabvcxp  20797  ostth2lem2  20799  ostth2lem3  20800  ostth2lem4  20801  ostth2  20802  ostth3  20803  ubthlem2  21466  minvecolem4  21475  iundisjfi  23378  iundisjf  23380  esumcst  23451  dstfrvunirn  23690  dstfrvclim1  23693  subfaclim  23734  subfacval3  23735  erdszelem7  23743  erdszelem8  23744  erdsze2lem2  23750  cvmliftlem2  23832  cvmliftlem6  23836  cvmliftlem7  23837  cvmliftlem8  23838  cvmliftlem9  23839  cvmliftlem10  23840  cvmliftlem13  23842  eupap1  23915  faclimlem5  24121  faclimlem9  24125  cntrset  25705  nn0prpwlem  26341  incsequz  26561  nninfnub  26564  irrapxlem3  27012  irrapxlem4  27013  irrapxlem5  27014  pellexlem2  27018  pellexlem6  27022  pell14qrgt0  27047  pell14qrgapw  27064  pellfundgt1  27071  rmspecsqrnq  27094  ltrmxnn0  27139  jm3.1lem1  27213  jm3.1lem3  27215  dgraa0p  27457  psgnunilem4  27523  stoweidlem59  27911  wallispi  27922  wallispi2  27925  stirlinglem3  27928  stirlinglem4  27929  stirlinglem8  27933  stirlinglem12  27937  stirlinglem15  27940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763
  Copyright terms: Public domain W3C validator