MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnred Structured version   Unicode version

Theorem nnred 10007
Description: A natural number is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnred  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nnred
StepHypRef Expression
1 nnssre 9996 . 2  |-  NN  C_  RR
2 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
31, 2sseldi 3338 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   RRcr 8981   NNcn 9992
This theorem is referenced by:  uzwo3  10561  modmulnn  11257  bernneq3  11499  expmulnbnd  11503  facwordi  11572  faclbnd  11573  faclbnd2  11574  faclbnd3  11575  faclbnd5  11581  faclbnd6  11582  facubnd  11583  facavg  11584  bcp1nk  11600  hashf1  11698  swrds2  11872  isercolllem1  12450  isercoll  12453  o1fsum  12584  climcndslem1  12621  climcndslem2  12622  climcnds  12623  eftabs  12670  efcllem  12672  ege2le3  12684  efcj  12686  eftlub  12702  eflegeo  12714  eirrlem  12795  fzm1ndvds  12893  bitsfzolem  12938  bitsfzo  12939  bitsinv1lem  12945  sadcaddlem  12961  smueqlem  12994  bezoutlem3  13032  bezoutlem4  13033  sqgcd  13050  prmind2  13082  coprm  13092  prmfac1  13110  divdenle  13133  qnumgt0  13134  zsqrelqelz  13142  hashdvds  13156  eulerthlem2  13163  odzdvds  13173  pythagtriplem11  13191  pythagtriplem13  13193  pythagtriplem19  13199  pclem  13204  pcpre1  13208  pcidlem  13237  pcadd  13250  pcmpt  13253  pcmpt2  13254  pcfaclem  13259  pcfac  13260  qexpz  13262  pockthlem  13265  pockthg  13266  prmreclem1  13276  prmreclem3  13278  prmreclem4  13279  prmreclem5  13280  1arithlem4  13286  1arith  13287  4sqlem5  13302  4sqlem6  13303  4sqlem10  13307  mul4sqlem  13313  4sqlem11  13315  4sqlem12  13316  4sqlem13  13317  4sqlem14  13318  4sqlem15  13319  4sqlem16  13320  4sqlem17  13321  vdwlem1  13341  vdwlem3  13343  vdwlem6  13346  vdwlem9  13349  vdwlem10  13350  vdwlem12  13352  vdwnnlem3  13357  ramub1lem1  13386  2expltfac  13418  mndodconglem  15171  oddvds  15177  sylow1lem1  15224  sylow1lem5  15228  fislw  15251  efgredlem  15371  gexexlem  15459  zlpirlem3  16762  prmirredlem  16765  lebnumii  18983  lmnn  19208  ovolunlem1a  19384  ovoliunlem1  19390  ovolicc2lem3  19407  ovolicc2lem4  19408  iundisj  19434  voliunlem1  19436  uniioombllem3  19469  dyadf  19475  dyadovol  19477  dyaddisjlem  19479  dyadmaxlem  19481  opnmbllem  19485  vitalilem4  19495  mbfi1fseqlem1  19599  mbfi1fseqlem3  19601  mbfi1fseqlem4  19602  mbfi1fseqlem5  19603  mbfi1fseqlem6  19604  itg2gt0  19644  itg2cnlem2  19646  dgreq0  20175  dgrco  20185  elqaalem2  20229  aaliou3lem2  20252  aaliou3lem8  20254  aaliou3lem9  20259  leibpi  20774  log2tlbnd  20777  birthdaylem3  20784  amgm  20821  emcllem2  20827  harmonicbnd4  20841  wilthlem1  20843  ftalem5  20851  basellem1  20855  basellem2  20856  basellem3  20857  basellem4  20858  basellem5  20859  basellem6  20860  basellem8  20862  chtge0  20887  chtwordi  20931  vma1  20941  dvdsdivcl  20958  dvdsflf1o  20964  dvdsflsumcom  20965  fsumfldivdiaglem  20966  sgmmul  20977  chtublem  20987  fsumvma2  20990  logfac2  20993  chpchtsum  20995  chpub  20996  logfaclbnd  20998  logexprlim  21001  mersenne  21003  perfectlem2  21006  dchrelbas4  21019  bposlem1  21060  bposlem2  21061  bposlem3  21062  bposlem4  21063  bposlem5  21064  bposlem6  21065  bposlem7  21066  bposlem9  21068  lgslem1  21072  lgslem4  21075  lgsval2lem  21082  lgsdirprm  21105  lgsdir  21106  lgsne0  21109  lgsqrlem2  21118  lgseisenlem1  21125  lgseisenlem2  21126  lgseisenlem3  21127  lgseisenlem4  21128  lgseisen  21129  lgsquadlem1  21130  lgsquadlem2  21131  lgsquadlem3  21132  m1lgs  21138  2sqlem3  21142  2sqlem8  21148  2sqblem  21153  chebbnd1lem1  21155  chebbnd1lem3  21157  chtppilimlem1  21159  rplogsumlem1  21170  rplogsumlem2  21171  dchrisum0lem1a  21172  rpvmasumlem  21173  dchrisumlema  21174  dchrisumlem1  21175  dchrisumlem2  21176  dchrisumlem3  21177  dchrvmasumiflem1  21187  dchrisum0flblem2  21195  dchrisum0re  21199  dchrisum0lem1b  21201  dchrisum0lem1  21202  dirith2  21214  selbergb  21235  selberg2lem  21236  logdivbnd  21242  selberg3lem2  21244  selberg4lem1  21246  pntrsumo1  21251  pntrsumbnd2  21253  pntrlog2bndlem1  21263  pntrlog2bndlem2  21264  pntrlog2bndlem3  21265  pntrlog2bndlem4  21266  pntrlog2bndlem5  21267  pntpbnd1a  21271  pntpbnd1  21272  pntibndlem2a  21276  pntibndlem2  21277  pntlemg  21284  pntlemh  21285  pntlemj  21289  pntlemf  21291  ostth2lem1  21304  padicabvf  21317  padicabvcxp  21318  ostth2lem2  21320  ostth2lem3  21321  ostth2lem4  21322  ostth2  21323  ostth3  21324  eupap1  21690  ubthlem2  22365  minvecolem4  22374  iundisjf  24021  ssnnssfz  24140  iundisjfi  24144  esumcst  24447  dstfrvunirn  24724  dstfrvclim1  24727  ballotlemimin  24755  lgamgulmlem1  24805  lgamgulmlem2  24806  lgamgulmlem3  24807  lgamgulmlem4  24808  lgamgulmlem5  24809  lgamgulmlem6  24810  lgamucov  24814  lgamcvg2  24831  subfaclim  24866  subfacval3  24867  erdszelem7  24875  erdszelem8  24876  erdsze2lem2  24882  cvmliftlem2  24965  cvmliftlem6  24969  cvmliftlem7  24970  cvmliftlem8  24971  cvmliftlem9  24972  cvmliftlem10  24973  cvmliftlem13  24975  faclimlem2  25355  faclim2  25359  mblfinlem  26234  nn0prpwlem  26316  incsequz  26443  nninfnub  26446  irrapxlem3  26878  irrapxlem4  26879  irrapxlem5  26880  pellexlem2  26884  pellexlem6  26888  pell14qrgt0  26913  pell14qrgapw  26930  pellfundgt1  26937  rmspecsqrnq  26960  ltrmxnn0  27005  jm3.1lem1  27079  jm3.1lem3  27081  dgraa0p  27322  psgnunilem4  27388  rfcnnnub  27674  stoweidlem1  27717  stoweidlem3  27719  stoweidlem11  27727  stoweidlem17  27733  stoweidlem20  27736  stoweidlem25  27741  stoweidlem26  27742  stoweidlem34  27750  stoweidlem38  27754  stoweidlem42  27758  stoweidlem44  27760  stoweidlem51  27767  stoweidlem59  27775  stoweidlem60  27776  wallispi  27786  wallispi2  27789  stirlinglem3  27792  stirlinglem4  27793  stirlinglem8  27797  stirlinglem10  27799  stirlinglem12  27801  stirlinglem15  27804  modprm1div  28190  modprm0  28194  cshwssizensame  28252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993
  Copyright terms: Public domain W3C validator