MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnred Structured version   Unicode version

Theorem nnred 10020
Description: A natural number is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnred  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nnred
StepHypRef Expression
1 nnssre 10009 . 2  |-  NN  C_  RR
2 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
31, 2sseldi 3348 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   RRcr 8994   NNcn 10005
This theorem is referenced by:  uzwo3  10574  modmulnn  11270  bernneq3  11512  expmulnbnd  11516  facwordi  11585  faclbnd  11586  faclbnd2  11587  faclbnd3  11588  faclbnd5  11594  faclbnd6  11595  facubnd  11596  facavg  11597  bcp1nk  11613  hashf1  11711  swrds2  11885  isercolllem1  12463  isercoll  12466  o1fsum  12597  climcndslem1  12634  climcndslem2  12635  climcnds  12636  eftabs  12683  efcllem  12685  ege2le3  12697  efcj  12699  eftlub  12715  eflegeo  12727  eirrlem  12808  fzm1ndvds  12906  bitsfzolem  12951  bitsfzo  12952  bitsinv1lem  12958  sadcaddlem  12974  smueqlem  13007  bezoutlem3  13045  bezoutlem4  13046  sqgcd  13063  prmind2  13095  coprm  13105  prmfac1  13123  divdenle  13146  qnumgt0  13147  zsqrelqelz  13155  hashdvds  13169  eulerthlem2  13176  odzdvds  13186  pythagtriplem11  13204  pythagtriplem13  13206  pythagtriplem19  13212  pclem  13217  pcpre1  13221  pcidlem  13250  pcadd  13263  pcmpt  13266  pcmpt2  13267  pcfaclem  13272  pcfac  13273  qexpz  13275  pockthlem  13278  pockthg  13279  prmreclem1  13289  prmreclem3  13291  prmreclem4  13292  prmreclem5  13293  1arithlem4  13299  1arith  13300  4sqlem5  13315  4sqlem6  13316  4sqlem10  13320  mul4sqlem  13326  4sqlem11  13328  4sqlem12  13329  4sqlem13  13330  4sqlem14  13331  4sqlem15  13332  4sqlem16  13333  4sqlem17  13334  vdwlem1  13354  vdwlem3  13356  vdwlem6  13359  vdwlem9  13362  vdwlem10  13363  vdwlem12  13365  vdwnnlem3  13370  ramub1lem1  13399  2expltfac  13431  mndodconglem  15184  oddvds  15190  sylow1lem1  15237  sylow1lem5  15241  fislw  15264  efgredlem  15384  gexexlem  15472  zlpirlem3  16775  prmirredlem  16778  lebnumii  18996  lmnn  19221  ovolunlem1a  19397  ovoliunlem1  19403  ovolicc2lem3  19420  ovolicc2lem4  19421  iundisj  19447  voliunlem1  19449  uniioombllem3  19482  dyadf  19488  dyadovol  19490  dyaddisjlem  19492  dyadmaxlem  19494  opnmbllem  19498  vitalilem4  19508  mbfi1fseqlem1  19610  mbfi1fseqlem3  19612  mbfi1fseqlem4  19613  mbfi1fseqlem5  19614  mbfi1fseqlem6  19615  itg2gt0  19655  itg2cnlem2  19657  dgreq0  20188  dgrco  20198  elqaalem2  20242  aaliou3lem2  20265  aaliou3lem8  20267  aaliou3lem9  20272  leibpi  20787  log2tlbnd  20790  birthdaylem3  20797  amgm  20834  emcllem2  20840  harmonicbnd4  20854  wilthlem1  20856  ftalem5  20864  basellem1  20868  basellem2  20869  basellem3  20870  basellem4  20871  basellem5  20872  basellem6  20873  basellem8  20875  chtge0  20900  chtwordi  20944  vma1  20954  dvdsdivcl  20971  dvdsflf1o  20977  dvdsflsumcom  20978  fsumfldivdiaglem  20979  sgmmul  20990  chtublem  21000  fsumvma2  21003  logfac2  21006  chpchtsum  21008  chpub  21009  logfaclbnd  21011  logexprlim  21014  mersenne  21016  perfectlem2  21019  dchrelbas4  21032  bposlem1  21073  bposlem2  21074  bposlem3  21075  bposlem4  21076  bposlem5  21077  bposlem6  21078  bposlem7  21079  bposlem9  21081  lgslem1  21085  lgslem4  21088  lgsval2lem  21095  lgsdirprm  21118  lgsdir  21119  lgsne0  21122  lgsqrlem2  21131  lgseisenlem1  21138  lgseisenlem2  21139  lgseisenlem3  21140  lgseisenlem4  21141  lgseisen  21142  lgsquadlem1  21143  lgsquadlem2  21144  lgsquadlem3  21145  m1lgs  21151  2sqlem3  21155  2sqlem8  21161  2sqblem  21166  chebbnd1lem1  21168  chebbnd1lem3  21170  chtppilimlem1  21172  rplogsumlem1  21183  rplogsumlem2  21184  dchrisum0lem1a  21185  rpvmasumlem  21186  dchrisumlema  21187  dchrisumlem1  21188  dchrisumlem2  21189  dchrisumlem3  21190  dchrvmasumiflem1  21200  dchrisum0flblem2  21208  dchrisum0re  21212  dchrisum0lem1b  21214  dchrisum0lem1  21215  dirith2  21227  selbergb  21248  selberg2lem  21249  logdivbnd  21255  selberg3lem2  21257  selberg4lem1  21259  pntrsumo1  21264  pntrsumbnd2  21266  pntrlog2bndlem1  21276  pntrlog2bndlem2  21277  pntrlog2bndlem3  21278  pntrlog2bndlem4  21279  pntrlog2bndlem5  21280  pntpbnd1a  21284  pntpbnd1  21285  pntibndlem2a  21289  pntibndlem2  21290  pntlemg  21297  pntlemh  21298  pntlemj  21302  pntlemf  21304  ostth2lem1  21317  padicabvf  21330  padicabvcxp  21331  ostth2lem2  21333  ostth2lem3  21334  ostth2lem4  21335  ostth2  21336  ostth3  21337  eupap1  21703  ubthlem2  22378  minvecolem4  22387  iundisjf  24034  ssnnssfz  24153  iundisjfi  24157  esumcst  24460  dstfrvunirn  24737  dstfrvclim1  24740  ballotlemimin  24768  lgamgulmlem1  24818  lgamgulmlem2  24819  lgamgulmlem3  24820  lgamgulmlem4  24821  lgamgulmlem5  24822  lgamgulmlem6  24823  lgamucov  24827  lgamcvg2  24844  subfaclim  24879  subfacval3  24880  erdszelem7  24888  erdszelem8  24889  erdsze2lem2  24895  cvmliftlem2  24978  cvmliftlem6  24982  cvmliftlem7  24983  cvmliftlem8  24984  cvmliftlem9  24985  cvmliftlem10  24986  cvmliftlem13  24988  faclimlem2  25368  faclim2  25372  opnmbllem0  26254  mblfinlem2  26256  nn0prpwlem  26339  incsequz  26466  nninfnub  26469  irrapxlem3  26901  irrapxlem4  26902  irrapxlem5  26903  pellexlem2  26907  pellexlem6  26911  pell14qrgt0  26936  pell14qrgapw  26953  pellfundgt1  26960  rmspecsqrnq  26983  ltrmxnn0  27028  jm3.1lem1  27102  jm3.1lem3  27104  dgraa0p  27345  psgnunilem4  27411  rfcnnnub  27697  stoweidlem1  27740  stoweidlem3  27742  stoweidlem11  27750  stoweidlem17  27756  stoweidlem20  27759  stoweidlem25  27764  stoweidlem26  27765  stoweidlem34  27773  stoweidlem38  27777  stoweidlem42  27781  stoweidlem44  27783  stoweidlem51  27790  stoweidlem59  27798  stoweidlem60  27799  wallispi  27809  wallispi2  27812  stirlinglem3  27815  stirlinglem4  27816  stirlinglem8  27820  stirlinglem10  27822  stirlinglem12  27824  stirlinglem15  27827  modprm1div  28258  modprm0  28262  cshwssizensame  28323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-nn 10006
  Copyright terms: Public domain W3C validator