MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Unicode version

Theorem nnrpd 10385
Description: A natural number is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrpd  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrp 10359 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1685   NNcn 9742   RR+crp 10350
This theorem is referenced by:  modmulnn  10984  nnesq  11221  digit1  11231  bcpasc  11329  iseralt  12153  mertenslem1  12336  mertenslem2  12337  ege2le3  12367  eftlub  12385  effsumlt  12387  eirrlem  12478  sqr2irrlem  12522  dvdsmod  12581  bitsfzo  12622  bitsmod  12623  bitscmp  12625  bitsinv1lem  12628  sadaddlem  12653  sadasslem  12657  bitsres  12660  smumul  12680  bezoutlem3  12715  eucalglt  12751  prmind2  12765  crt  12842  eulerthlem2  12846  fermltl  12848  prmdiv  12849  prmdiveq  12850  odzdvds  12856  prmreclem3  12961  prmreclem5  12963  prmreclem6  12964  4sqlem5  12985  4sqlem6  12986  4sqlem7  12987  4sqlem10  12990  4sqlem12  12999  vdwlem1  13024  mndodcong  14853  odmod  14857  oddvds  14858  dfod2  14873  gexexlem  15140  zlpirlem3  16439  met1stc  18063  met2ndci  18064  lebnumlem3  18457  lebnumii  18460  ovollb2lem  18843  ovoliunlem1  18857  ovoliunlem3  18859  uniioombllem6  18939  itg2cnlem2  19113  elqaalem2  19696  aalioulem2  19709  aalioulem4  19711  aalioulem5  19712  aaliou2b  19717  aaliou3lem9  19726  logfac  19950  cxpeq  20093  leibpi  20234  amgmlem  20280  emcllem1  20285  emcllem2  20286  emcllem3  20287  emcllem5  20289  harmoniclbnd  20298  harmonicubnd  20299  harmonicbnd4  20300  fsumharmonic  20301  wilthlem1  20302  wilthlem2  20303  basellem1  20314  basellem6  20319  basellem8  20321  chtf  20342  efchtcl  20345  chtge0  20346  vmacl  20352  efvmacl  20354  sgmnncl  20381  chtprm  20387  chtdif  20392  efchtdvds  20393  prmorcht  20412  sgmppw  20432  vmalelog  20440  chtleppi  20445  chtublem  20446  fsumvma2  20449  pclogsum  20450  vmasum  20451  chpchtsum  20454  chpub  20455  logfacubnd  20456  logfaclbnd  20457  logfacbnd3  20458  logfacrlim  20459  logexprlim  20460  logfacrlim2  20461  perfectlem2  20465  bclbnd  20515  bposlem1  20519  bposlem2  20520  bposlem4  20522  bposlem5  20523  bposlem6  20524  bposlem7  20525  bposlem9  20527  lgslem1  20531  lgslem4  20534  lgsvalmod  20550  lgsmod  20556  lgsdirprm  20564  lgsne0  20568  lgsqrlem2  20577  lgseisenlem1  20584  lgseisenlem2  20585  lgseisenlem3  20586  lgseisenlem4  20587  lgseisen  20588  lgsquadlem2  20590  lgsquadlem3  20591  m1lgs  20597  2sqlem8  20607  chebbnd1lem1  20614  chebbnd1lem2  20615  chebbnd1lem3  20616  chebbnd1  20617  chtppilimlem1  20618  chtppilimlem2  20619  chtppilim  20620  chebbnd2  20622  chto1lb  20623  vmadivsum  20627  vmadivsumb  20628  rplogsumlem1  20629  rplogsumlem2  20630  dchrisum0lem1a  20631  rpvmasumlem  20632  dchrisumlema  20633  dchrisumlem1  20634  dchrisumlem2  20635  dchrmusum2  20639  dchrvmasumlem1  20640  dchrvmasum2lem  20641  dchrvmasum2if  20642  dchrvmasumlem2  20643  dchrvmasumlem3  20644  dchrvmasumiflem1  20646  dchrvmasumiflem2  20647  dchrisum0flblem2  20654  dchrisum0fno1  20656  dchrisum0lema  20659  dchrisum0lem1b  20660  dchrisum0lem1  20661  dchrisum0lem2a  20662  dchrisum0lem2  20663  dchrisum0lem3  20664  dchrisum0  20665  dirith2  20673  mudivsum  20675  mulogsumlem  20676  mulogsum  20677  mulog2sumlem1  20679  mulog2sumlem2  20680  mulog2sumlem3  20681  vmalogdivsum2  20683  vmalogdivsum  20684  2vmadivsumlem  20685  logsqvma  20687  log2sumbnd  20689  selberglem1  20690  selberglem2  20691  selberglem3  20692  selberg  20693  selbergb  20694  selberg2lem  20695  selberg2  20696  selberg2b  20697  chpdifbndlem1  20698  logdivbnd  20701  selberg3lem1  20702  selberg3lem2  20703  selberg3  20704  selberg4lem1  20705  selberg4  20706  pntrsumo1  20710  pntrsumbnd2  20712  selbergr  20713  selberg3r  20714  selberg4r  20715  selberg34r  20716  pntsf  20718  pntsval2  20721  pntrlog2bndlem1  20722  pntrlog2bndlem2  20723  pntrlog2bndlem3  20724  pntrlog2bndlem4  20725  pntrlog2bndlem5  20726  pntrlog2bndlem6  20728  pntrlog2bnd  20729  pntpbnd1a  20730  pntpbnd1  20731  pntpbnd2  20732  pntibndlem2  20736  pntlemn  20745  pntlemj  20748  pntlemf  20750  pntlemk  20751  pntlemo  20752  pnt  20759  padicabvcxp  20777  ostth2lem2  20779  ostth2lem3  20780  ostth2lem4  20781  ostth2  20782  ostth3  20783  ubthlem2  21444  minvecolem3  21449  lnconi  22609  ltesubnnd  23029  zetacvg  23096  heiborlem3  25948  heiborlem5  25950  heiborlem6  25951  heiborlem7  25952  heiborlem8  25953  heibor  25956  rrndstprj2  25966  rrncmslem  25967  rrnequiv  25970  irrapxlem5  26322  pell14qrgapw  26372  pellqrexplicit  26373  pellqrex  26375  pellfundge  26378  pellfundgt1  26379  jm3.1lem1  26521  jm3.1lem2  26522  stoweidlem59  27219  wallispilem3  27227  wallispi  27230  stirlinglem12  27245  stirlinglem15  27248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-rp 10351
  Copyright terms: Public domain W3C validator