MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Unicode version

Theorem nnrpd 10636
Description: A natural number is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrpd  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrp 10610 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   NNcn 9989   RR+crp 10601
This theorem is referenced by:  modmulnn  11253  nnesq  11491  digit1  11501  bcpasc  11600  iseralt  12466  mertenslem1  12649  mertenslem2  12650  ege2le3  12680  eftlub  12698  effsumlt  12700  eirrlem  12791  sqr2irrlem  12835  dvdsmod  12894  bitsfzo  12935  bitsmod  12936  bitscmp  12938  bitsinv1lem  12941  sadaddlem  12966  sadasslem  12970  bitsres  12973  smumul  12993  bezoutlem3  13028  eucalglt  13064  prmind2  13078  crt  13155  eulerthlem2  13159  fermltl  13161  prmdiv  13162  prmdiveq  13163  odzdvds  13169  prmreclem3  13274  prmreclem5  13276  prmreclem6  13277  4sqlem5  13298  4sqlem6  13299  4sqlem7  13300  4sqlem10  13303  4sqlem12  13312  vdwlem1  13337  mndodcong  15168  odmod  15172  oddvds  15173  dfod2  15188  gexexlem  15455  zlpirlem3  16758  met1stc  18539  met2ndci  18540  lebnumlem3  18976  lebnumii  18979  ovollb2lem  19372  ovoliunlem1  19386  ovoliunlem3  19388  uniioombllem6  19468  itg2cnlem2  19642  elqaalem2  20225  aalioulem2  20238  aalioulem4  20240  aalioulem5  20241  aaliou2b  20246  aaliou3lem9  20255  logfac  20483  cxpeq  20629  leibpi  20770  amgmlem  20816  emcllem1  20822  emcllem2  20823  emcllem3  20824  emcllem5  20826  harmoniclbnd  20835  harmonicubnd  20836  harmonicbnd4  20837  fsumharmonic  20838  wilthlem1  20839  wilthlem2  20840  basellem1  20851  basellem6  20856  basellem8  20858  chtf  20879  efchtcl  20882  chtge0  20883  vmacl  20889  efvmacl  20891  sgmnncl  20918  chtprm  20924  chtdif  20929  efchtdvds  20930  prmorcht  20949  sgmppw  20969  vmalelog  20977  chtleppi  20982  chtublem  20983  fsumvma2  20986  pclogsum  20987  vmasum  20988  chpchtsum  20991  chpub  20992  logfacubnd  20993  logfaclbnd  20994  logfacbnd3  20995  logfacrlim  20996  logexprlim  20997  logfacrlim2  20998  perfectlem2  21002  bclbnd  21052  bposlem1  21056  bposlem2  21057  bposlem4  21059  bposlem5  21060  bposlem6  21061  bposlem7  21062  bposlem9  21064  lgslem1  21068  lgslem4  21071  lgsvalmod  21087  lgsmod  21093  lgsdirprm  21101  lgsne0  21105  lgsqrlem2  21114  lgseisenlem1  21121  lgseisenlem2  21122  lgseisenlem3  21123  lgseisenlem4  21124  lgseisen  21125  lgsquadlem2  21127  lgsquadlem3  21128  m1lgs  21134  2sqlem8  21144  chebbnd1lem1  21151  chebbnd1lem2  21152  chebbnd1lem3  21153  chebbnd1  21154  chtppilimlem1  21155  chtppilimlem2  21156  chtppilim  21157  chebbnd2  21159  chto1lb  21160  vmadivsum  21164  vmadivsumb  21165  rplogsumlem1  21166  rplogsumlem2  21167  dchrisum0lem1a  21168  rpvmasumlem  21169  dchrisumlema  21170  dchrisumlem1  21171  dchrisumlem2  21172  dchrmusum2  21176  dchrvmasumlem1  21177  dchrvmasum2lem  21178  dchrvmasum2if  21179  dchrvmasumlem2  21180  dchrvmasumlem3  21181  dchrvmasumiflem1  21183  dchrvmasumiflem2  21184  dchrisum0flblem2  21191  dchrisum0fno1  21193  dchrisum0lema  21196  dchrisum0lem1b  21197  dchrisum0lem1  21198  dchrisum0lem2a  21199  dchrisum0lem2  21200  dchrisum0lem3  21201  dchrisum0  21202  dirith2  21210  mudivsum  21212  mulogsumlem  21213  mulogsum  21214  mulog2sumlem1  21216  mulog2sumlem2  21217  mulog2sumlem3  21218  vmalogdivsum2  21220  vmalogdivsum  21221  2vmadivsumlem  21222  logsqvma  21224  log2sumbnd  21226  selberglem1  21227  selberglem2  21228  selberglem3  21229  selberg  21230  selbergb  21231  selberg2lem  21232  selberg2  21233  selberg2b  21234  chpdifbndlem1  21235  logdivbnd  21238  selberg3lem1  21239  selberg3lem2  21240  selberg3  21241  selberg4lem1  21242  selberg4  21243  pntrsumo1  21247  pntrsumbnd2  21249  selbergr  21250  selberg3r  21251  selberg4r  21252  selberg34r  21253  pntsf  21255  pntsval2  21258  pntrlog2bndlem1  21259  pntrlog2bndlem2  21260  pntrlog2bndlem3  21261  pntrlog2bndlem4  21262  pntrlog2bndlem5  21263  pntrlog2bndlem6  21265  pntrlog2bnd  21266  pntpbnd1a  21267  pntpbnd1  21268  pntpbnd2  21269  pntibndlem2  21273  pntlemn  21282  pntlemj  21285  pntlemf  21287  pntlemk  21288  pntlemo  21289  pnt  21296  padicabvcxp  21314  ostth2lem2  21316  ostth2lem3  21317  ostth2lem4  21318  ostth2  21319  ostth3  21320  ubthlem2  22361  minvecolem3  22366  lnconi  23524  ltesubnnd  24150  rnlogblem  24387  zetacvg  24787  lgamgulmlem2  24802  lgamgulmlem3  24803  lgamgulmlem4  24804  lgamgulmlem5  24805  lgamgulmlem6  24806  lgamgulm2  24808  lgambdd  24809  lgamucov  24810  lgamcvg2  24827  gamcvg  24828  gamcvg2lem  24831  regamcl  24833  relgamcl  24834  lgam1  24836  iprodgam  25308  faclimlem1  25351  faclimlem3  25353  faclim  25354  iprodfac  25355  mblfinlem  26190  heiborlem3  26459  heiborlem5  26461  heiborlem6  26462  heiborlem7  26463  heiborlem8  26464  heibor  26467  rrndstprj2  26477  rrncmslem  26478  rrnequiv  26481  irrapxlem5  26826  pell14qrgapw  26876  pellqrexplicit  26877  pellqrex  26879  pellfundge  26882  pellfundgt1  26883  jm3.1lem1  27025  jm3.1lem2  27026  stoweidlem31  27694  stoweidlem59  27722  wallispilem3  27730  wallispi  27733  stirlinglem12  27748  stirlinglem15  27751  modprm0  28112
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-rp 10602
  Copyright terms: Public domain W3C validator