MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsdomg Unicode version

Theorem nnsdomg 7357
Description: Omega strictly dominates a natural number. Example 3 of [Enderton] p. 146. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nnsdomg  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<  om )

Proof of Theorem nnsdomg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 4845 . . . . 5  |-  Ord  om
2 ordelss 4589 . . . . 5  |-  ( ( Ord  om  /\  A  e.  om )  ->  A  C_ 
om )
31, 2mpan 652 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  C_ 
om )
4 ssdomg 7144 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  C_  om  ->  A  ~<_  om ) )
53, 4syl5 30 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  om  ->  A  ~<_  om ) )
65imp 419 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<_  om )
7 ominf 7312 . . . 4  |-  -.  om  e.  Fin
8 ensym 7147 . . . . 5  |-  ( A 
~~  om  ->  om  ~~  A )
9 breq2 4208 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( om  ~~  x  <->  om  ~~  A
) )
109rspcev 3044 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  om 
~~  A )  ->  E. x  e.  om  om 
~~  x )
11 isfi 7122 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  om  ~~  x
)
1210, 11sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  om 
~~  A )  ->  om  e.  Fin )
1312ex 424 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( om  ~~  A  ->  om  e.  Fin ) )
148, 13syl5 30 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ~~  om  ->  om  e.  Fin ) )
157, 14mtoi 171 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  ~~  om )
1615adantl 453 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  -.  A  ~~  om )
17 brsdom 7121 . 2  |-  ( A 
~<  om  <->  ( A  ~<_  om 
/\  -.  A  ~~  om ) )
186, 16, 17sylanbrc 646 1  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   Ord word 4572   omcom 4836    ~~ cen 7097    ~<_ cdom 7098    ~< csdm 7099   Fincfn 7100
This theorem is referenced by:  isfiniteg  7358  infsdomnn  7359  nnsdom  7597
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104
  Copyright terms: Public domain W3C validator