MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsdomg Unicode version

Theorem nnsdomg 7112
Description: Omega strictly dominates a natural number. Example 3 of [Enderton] p. 146. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nnsdomg  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<  om )
Dummy variable  x is distinct from all other variables.

Proof of Theorem nnsdomg
StepHypRef Expression
1 ordom 4665 . . . . 5  |-  Ord  om
2 ordelss 4408 . . . . 5  |-  ( ( Ord  om  /\  A  e.  om )  ->  A  C_ 
om )
31, 2mpan 653 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  C_ 
om )
4 ssdomg 6903 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  C_  om  ->  A  ~<_  om ) )
53, 4syl5 30 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  om  ->  A  ~<_  om ) )
65imp 420 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<_  om )
7 ominf 7071 . . . 4  |-  -.  om  e.  Fin
8 ensym 6906 . . . . 5  |-  ( A 
~~  om  ->  om  ~~  A )
9 breq2 4029 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( om  ~~  x  <->  om  ~~  A
) )
109rspcev 2886 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  om 
~~  A )  ->  E. x  e.  om  om 
~~  x )
11 isfi 6881 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  om  ~~  x
)
1210, 11sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  om 
~~  A )  ->  om  e.  Fin )
1312ex 425 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( om  ~~  A  ->  om  e.  Fin ) )
148, 13syl5 30 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ~~  om  ->  om  e.  Fin ) )
157, 14mtoi 171 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  ~~  om )
1615adantl 454 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  -.  A  ~~  om )
17 brsdom 6880 . 2  |-  ( A 
~<  om  <->  ( A  ~<_  om 
/\  -.  A  ~~  om ) )
186, 16, 17sylanbrc 647 1  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1685   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   Ord word 4391   omcom 4656    ~~ cen 6856    ~<_ cdom 6857    ~< csdm 6858   Fincfn 6859
This theorem is referenced by:  isfiniteg  7113  infsdomnn  7114  nnsdom  7350
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863
  Copyright terms: Public domain W3C validator