MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsdomg Unicode version

Theorem nnsdomg 7070
Description: Omega strictly dominates a natural number. Example 3 of [Enderton] p. 146. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nnsdomg  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<  om )

Proof of Theorem nnsdomg
StepHypRef Expression
1 ordom 4623 . . . . 5  |-  Ord  om
2 ordelss 4366 . . . . 5  |-  ( ( Ord  om  /\  A  e.  om )  ->  A  C_ 
om )
31, 2mpan 654 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  C_ 
om )
4 ssdomg 6861 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  C_  om  ->  A  ~<_  om ) )
53, 4syl5 30 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  om  ->  A  ~<_  om ) )
65imp 420 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<_  om )
7 ominf 7029 . . . 4  |-  -.  om  e.  Fin
8 ensym 6864 . . . . 5  |-  ( A 
~~  om  ->  om  ~~  A )
9 breq2 3987 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( om  ~~  x  <->  om  ~~  A
) )
109rcla4ev 2852 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  om 
~~  A )  ->  E. x  e.  om  om 
~~  x )
11 isfi 6839 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  om  ~~  x
)
1210, 11sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  om 
~~  A )  ->  om  e.  Fin )
1312ex 425 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( om  ~~  A  ->  om  e.  Fin ) )
148, 13syl5 30 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ~~  om  ->  om  e.  Fin ) )
157, 14mtoi 171 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  ~~  om )
1615adantl 454 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  -.  A  ~~  om )
17 brsdom 6838 . 2  |-  ( A 
~<  om  <->  ( A  ~<_  om 
/\  -.  A  ~~  om ) )
186, 16, 17sylanbrc 648 1  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   E.wrex 2517   _Vcvv 2757    C_ wss 3113   class class class wbr 3983   Ord word 4349   omcom 4614    ~~ cen 6814    ~<_ cdom 6815    ~< csdm 6816   Fincfn 6817
This theorem is referenced by:  isfiniteg  7071  infsdomnn  7072  nnsdom  7308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821
  Copyright terms: Public domain W3C validator