Theorem nnsdomo 4501

Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering.

Assertion

Ref	Expression
nnsdomo	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ~< B <-> A (. B))

Proof of Theorem nnsdomo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndomo 4500	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ~<_ B <-> A (_ B))
2		nneneq 4492	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ~~ B <-> A = B))
3	2	negbid 609	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (-. A ~~ B <-> -. A = B))
4	1, 3	anbi12d 626	. 2 |- ((A e. om /\ B e. om) -> ((A ~<_ B /\ -. A ~~ B) <-> (A (_ B /\ -. A = B)))
5		brsdom 4363	. 2 |- (A ~< B <-> (A ~<_ B /\ -. A ~~ B))
6		dfpss2 2123	. 2 |- (A (. B <-> (A (_ B /\ -. A = B))
7	4, 5, 6	3bitr4g 553	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ~< B <-> A (. B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   (_ wss 2037   (. wpss 2038   class class class wbr 2609  omcom 3121   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349   ~< csdm 4350

This theorem is referenced by:  omsucdom 4502  cardnn 4796

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353

Copyright terms: Public domain