Theorem nnsubi 6102

Description: Subtraction of natural numbers.

Hypotheses

Ref	Expression
nnsub.1	|- A e. NN
nnsub.2	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
nnsubi	|- (A < B <-> (B - A) e. NN)

Proof of Theorem nnsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsub.2	. . 3 |- B e. NN
2		breq2 2696	. . . . 5 |- (x = 1 -> (A < x <-> A < 1))
3		opreq1 4026	. . . . . 6 |- (x = 1 -> (x - A) = (1 - A))
4	3	eleq1d 1583	. . . . 5 |- (x = 1 -> ((x - A) e. NN <-> (1 - A) e. NN))
5	2, 4	imbi12d 629	. . . 4 |- (x = 1 -> ((A < x -> (x - A) e. NN) <-> (A < 1 -> (1 - A) e. NN)))
6		breq2 2696	. . . . 5 |- (x = y -> (A < x <-> A < y))
7		opreq1 4026	. . . . . 6 |- (x = y -> (x - A) = (y - A))
8	7	eleq1d 1583	. . . . 5 |- (x = y -> ((x - A) e. NN <-> (y - A) e. NN))
9	6, 8	imbi12d 629	. . . 4 |- (x = y -> ((A < x -> (x - A) e. NN) <-> (A < y -> (y - A) e. NN)))
10		breq2 2696	. . . . 5 |- (x = (y + 1) -> (A < x <-> A < (y + 1)))
11		opreq1 4026	. . . . . 6 |- (x = (y + 1) -> (x - A) = ((y + 1) - A))
12	11	eleq1d 1583	. . . . 5 |- (x = (y + 1) -> ((x - A) e. NN <-> ((y + 1) - A) e. NN))
13	10, 12	imbi12d 629	. . . 4 |- (x = (y + 1) -> ((A < x -> (x - A) e. NN) <-> (A < (y + 1) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
14		breq2 2696	. . . . 5 |- (x = B -> (A < x <-> A < B))
15		opreq1 4026	. . . . . 6 |- (x = B -> (x - A) = (B - A))
16	15	eleq1d 1583	. . . . 5 |- (x = B -> ((x - A) e. NN <-> (B - A) e. NN))
17	14, 16	imbi12d 629	. . . 4 |- (x = B -> ((A < x -> (x - A) e. NN) <-> (A < B -> (B - A) e. NN)))
18		nnsub.1	. . . . . . 7 |- A e. NN
19		nnge1 6088	. . . . . . 7 |- (A e. NN -> 1 <_ A)
20	18, 19	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 1 <_ A
21		1re 5589	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
22	18	nnrei 6076	. . . . . . 7 |- A e. RR
23	21, 22	lenlti 5732	. . . . . 6 |- (1 <_ A <-> -. A < 1)
24	20, 23	mpbi 187	. . . . 5 |- -. A < 1
25	24	pm2.21i 77	. . . 4 |- (A < 1 -> (1 - A) e. NN)
26		nnre 6074	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> y e. RR)
27	26, 22	jctil 290	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> (A e. RR /\ y e. RR))
28		leloe 5672	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ y e. RR) -> (A <_ y <-> (A < y \/ A = y)))
29	27, 28	syl 10	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (A <_ y <-> (A < y \/ A = y)))
30		nnleltp1 6100	. . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> (A <_ y <-> A < (y + 1)))
31	18, 30	mpan 699	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (A <_ y <-> A < (y + 1)))
32	29, 31	bitr3d 533	. . . . . 6 |- (y e. NN -> ((A < y \/ A = y) <-> A < (y + 1)))
33		nncn 6075	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. NN -> y e. CC)
34	18	nncni 6077	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. CC
35	33, 34	jctir 291	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> (y e. CC /\ A e. CC))
36		ax1cn 5423	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
37		addsub 5538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. CC) -> ((y + 1) - A) = ((y - A) + 1))
38	36, 37	mp3an2 910	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CC /\ A e. CC) -> ((y + 1) - A) = ((y - A) + 1))
39	35, 38	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. NN -> ((y + 1) - A) = ((y - A) + 1))
40	39	eleq1d 1583	. . . . . . . . . 10 |- (y e. NN -> (((y + 1) - A) e. NN <-> ((y - A) + 1) e. NN))
41		peano2nn 6080	. . . . . . . . . 10 |- ((y - A) e. NN -> ((y - A) + 1) e. NN)
42	40, 41	syl5bir 208	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> ((y - A) e. NN -> ((y + 1) - A) e. NN))
43	42	imim2d 25	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> (A < y -> ((y + 1) - A) e. NN)))
44	43	com23 32	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (A < y -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
45		opreq1 4026	. . . . . . . . . . 11 |- (A = y -> (A + 1) = (y + 1))
46	45	opreq1d 4033	. . . . . . . . . 10 |- (A = y -> ((A + 1) - A) = ((y + 1) - A))
47	34, 36, 34	addsubi 5542	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A + 1) - A) = ((A - A) + 1)
48	34	subidi 5545	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A - A) = 0
49	48	opreq1i 4029	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A - A) + 1) = (0 + 1)
50	36	addid2i 5485	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 + 1) = 1
51	47, 49, 50	3eqtri 1542	. . . . . . . . . . 11 |- ((A + 1) - A) = 1
52		1nn 6079	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
53	51, 52	eqeltri 1587	. . . . . . . . . 10 |- ((A + 1) - A) e. NN
54	46, 53	syl6eqelr 1600	. . . . . . . . 9 |- (A = y -> ((y + 1) - A) e. NN)
55	54	a1d 12	. . . . . . . 8 |- (A = y -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN))
56	55	a1i 8	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (A = y -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
57	44, 56	jaod 424	. . . . . 6 |- (y e. NN -> ((A < y \/ A = y) -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
58	32, 57	sylbird 203	. . . . 5 |- (y e. NN -> (A < (y + 1) -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
59	58	com23 32	. . . 4 |- (y e. NN -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> (A < (y + 1) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
60	5, 9, 13, 17, 25, 59	nnind 6082	. . 3 |- (B e. NN -> (A < B -> (B - A) e. NN))
61	1, 60	ax-mp 7	. 2 |- (A < B -> (B - A) e. NN)
62		nngt0 6091	. . 3 |- ((B - A) e. NN -> 0 < (B - A))
63	1	nnrei 6076	. . . 4 |- B e. RR
64	22, 63	posdifi 5819	. . 3 |- (A < B <-> 0 < (B - A))
65	62, 64	sylibr 198	. 2 |- ((B - A) e. NN -> A < B)
66	61, 65	impbii 155	1 |- (A < B <-> (B - A) e. NN)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994   class class class wbr 2692  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  0cc0 5388  1c1 5389   + caddc 5391   - cmin 5446   <_ cle 5449  NNcn 5450   < clt 5640

This theorem is referenced by:  nnsub 6103  cvgratlem2ALT 7453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070

Copyright terms: Public domain