Theorem nnsubt 5914

Description: Subtraction of natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
nnsubt	|- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A < B <-> (B - A) e. NN))

Proof of Theorem nnsubt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2618	. . 3 |- (A = if(A e. NN, A, 1) -> (A < B <-> if(A e. NN, A, 1) < B))
2		opreq2 3964	. . . 4 |- (A = if(A e. NN, A, 1) -> (B - A) = (B - if(A e. NN, A, 1)))
3	2	eleq1d 1538	. . 3 |- (A = if(A e. NN, A, 1) -> ((B - A) e. NN <-> (B - if(A e. NN, A, 1)) e. NN))
4	1, 3	bibi12d 628	. 2 |- (A = if(A e. NN, A, 1) -> ((A < B <-> (B - A) e. NN) <-> (if(A e. NN, A, 1) < B <-> (B - if(A e. NN, A, 1)) e. NN)))
5		breq2 2619	. . 3 |- (B = if(B e. NN, B, 1) -> (if(A e. NN, A, 1) < B <-> if(A e. NN, A, 1) < if(B e. NN, B, 1)))
6		opreq1 3963	. . . 4 |- (B = if(B e. NN, B, 1) -> (B - if(A e. NN, A, 1)) = (if(B e. NN, B, 1) - if(A e. NN, A, 1)))
7	6	eleq1d 1538	. . 3 |- (B = if(B e. NN, B, 1) -> ((B - if(A e. NN, A, 1)) e. NN <-> (if(B e. NN, B, 1) - if(A e. NN, A, 1)) e. NN))
8	5, 7	bibi12d 628	. 2 |- (B = if(B e. NN, B, 1) -> ((if(A e. NN, A, 1) < B <-> (B - if(A e. NN, A, 1)) e. NN) <-> (if(A e. NN, A, 1) < if(B e. NN, B, 1) <-> (if(B e. NN, B, 1) - if(A e. NN, A, 1)) e. NN)))
9		1nn 5892	. . . 4 |- 1 e. NN
10	9	elimel 2391	. . 3 |- if(A e. NN, A, 1) e. NN
11	9	elimel 2391	. . 3 |- if(B e. NN, B, 1) e. NN
12	10, 11	nnsub 5913	. 2 |- (if(A e. NN, A, 1) < if(B e. NN, B, 1) <-> (if(B e. NN, B, 1) - if(A e. NN, A, 1)) e. NN)
13	4, 8, 12	dedth2h 2384	1 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A < B <-> (B - A) e. NN))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  ifcif 2358   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  1c1 5218   - cmin 5275  NNcn 5279   < clt 5469

This theorem is referenced by:  nnaddm1clt 5915  nn0subt 6118  seq1m1 6269  nnesq 6607  ser1absdif 6882  faclbnd4lem4 6903  ser1f0 7123  cvgratlem2 7203  bcthlem16 7976  nndivsub 10379

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883

Copyright terms: Public domain